Considere a função T: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(x+i y)=\left(\begin{array}{cc} x+7 y & 5 y \\\\ -10 y & x-7 y \end{array}\right)
Considerando \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R},
prove que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a função T:\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}) definida por
T(x+i y)=\left(\begin{array}{cc} x+7 y & 5 y \\\\ -10 y & x-7 y \end{array}\right),
onde x,y\in\mathbb{R}. O pedido é: provar que T é uma transformação linear quando \mathbb{C} é visto como espaço vetorial sobre \mathbb{R}.
Para provar linearidade preciso mostrar duas propriedades válidas para todos z_1,z_2\in\mathbb{C} e todo escalar real r\in\mathbb{R}:
  1. T(z_1+z_2)=T(z_1)+T(z_2) (aditividade);
  2. T(r z)=r\,T(z) (homogeneidade).

Passo 2

Primeiro lembro como se somam e se multiplicam por escalar números complexos vistos como vetores reais: para z_1=x_1+i y_1 e z_2=x_2+i y_2 e r\in\mathbb{R} tem-se
z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2), \qquad r z = (r x)+i(r y).
Também reescrevo T separando a dependência em x e em y. Observando a fórmula,
T(x+iy)=x\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right) + y\left(\begin{array}{cc}7 & 5\\[4pt]-10 & -7\end{array}\right).
Chamo
A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{array}\right), \qquad B=\left(\begin{array}{cc}7 & 5\\[4pt]-10 & -7\end{array}\right),
então \,T(x+iy)=xA+yB. Esta escrita já sugere linearidade porque a saída é uma combinação linear em x e y com coeficientes fixos A e B.]

Passo 3

Provo a aditividade explicitamente. Seja z_1=x_1+i y_1 e z_2=x_2+i y_2. Então
z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).
Aplicando T,
T(z_1+z_2)=T\big((x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\big)=(x_1+x_2)A+(y_1+y_2)B.
Distribuindo a soma nas matrizes obtemos
(x_1+x_2)A+(y_1+y_2)B = x_1A+y_1B + x_2A+y_2B.
Mas x_1A+y_1B = T(x_1+i y_1)=T(z_1) e x_2A+y_2B = T(z_2). Portanto
T(z_1+z_2)=T(z_1)+T(z_2),
que é exatamente a propriedade de aditividade.

Passo 4

Provo a homogeneidade em relação a escalar real. Seja r\in\mathbb{R} e z=x+iy. Então
r z = (r x)+i(r y).
Aplicando T,
T(r z)=T\big((r x)+i(r y)\big)=(r x)A+(r y)B.
Como multiplicação escalar em matrizes é distributiva, isso é
(r x)A+(r y)B = r(xA+yB)=r\,T(x+iy)=r\,T(z).
Logo T(r z)=r\,T(z), provando a homogeneidade para escalares reais.

Passo 5

Já que mostramos as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade para escalares reais), concluímos que T é linear como transformação de \mathbb{C} (visto como espaço vetorial sobre \mathbb{R}) em M_2(\mathbb{R}).

Resposta

T é uma transformação linear.

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