Considere a função T: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(x+i y)=\left(\begin{array}{cc} x+7 y & 5 y \\\\ -10 y & x-7 y \end{array}\right)
Considerando \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R},
prove que T\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)=T\left(z_{1}\right) \cdot T\left(z_{2}\right), \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{C}\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
T(x+i y)=\begin{pmatrix}x+7y & 5y \\[4pt] -10y & x-7y\end{pmatrix},
para x,y\in\mathbb{R}. A tarefa é provar que
T(z_{1}\cdot z_{2})=T(z_{1})\cdot T(z_{2}),\qquad \forall z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}.
Dados que vamos usar: a regra de multiplicação de números complexos e a definição de multiplicação de matrizes 2\times2. Para trabalhar explicitamente, tomaremos
z_{1}=x_{1}+i y_{1},\qquad z_{2}=x_{2}+i y_{2},
com x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Lembrando como se multiplica complexos: se z_{1}=x_{1}+i y_{1} e z_{2}=x_{2}+i y_{2}, então
z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).
Aqui a parte real é \,x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\, e a parte imaginária é \,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,. Esta fórmula vem da distributividade e da relação i^{2}=-1.

Passo 3

Vamos aplicar T ao produto z_{1}z_{2}. Usando a decomposição acima, a parte real é \,x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\, e a parte imaginária é \,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,. Assim
T(z_{1}z_{2})= \begin{pmatrix} (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+7(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) & 5(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\\[6pt] -10(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) & (x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})-7(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}) \end{pmatrix}.
Para facilitar, vou escrever essas entradas como combinações que depois podemos comparar.]

Passo 4

Agora escrevo explicitamente T(z_{1}) e T(z_{2}):
T(z_{1})=\begin{pmatrix}x_{1}+7y_{1} & 5y_{1} \\[4pt] -10y_{1} & x_{1}-7y_{1}\end{pmatrix}, \qquad T(z_{2})=\begin{pmatrix}x_{2}+7y_{2} & 5y_{2} \\[4pt] -10y_{2} & x_{2}-7y_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicamos as duas matrizes T(z_{1}) e T(z_{2}). Vou calcular cada entrada do produto T(z_{1})T(z_{2}) desenvolvendo as somas de produtos linha × coluna.
Cálculo da entrada (1,1):
\begin{aligned} (T(z_{1})T(z_{2}))_{11} &=(x_{1}+7y_{1})(x_{2}+7y_{2})+(5y_{1})(-10y_{2})\\[4pt] &=x_{1}x_{2}+7x_{1}y_{2}+7y_{1}x_{2}+49y_{1}y_{2}-50y_{1}y_{2}\\[4pt] &=x_{1}x_{2}+7x_{1}y_{2}+7x_{2}y_{1}-y_{1}y_{2}. \end{aligned}
Note que o termo 49y_{1}y_{2}-50y_{1}y_{2} resultou em -y_{1}y_{2}.
Cálculo da entrada (1,2):
\begin{aligned} (T(z_{1})T(z_{2}))_{12} &=(x_{1}+7y_{1})(5y_{2})+(5y_{1})(x_{2}-7y_{2})\\[4pt] &=5x_{1}y_{2}+35y_{1}y_{2}+5x_{2}y_{1}-35y_{1}y_{2}\\[4pt] &=5x_{1}y_{2}+5x_{2}y_{1}. \end{aligned}
Cálculo da entrada (2,1):
\begin{aligned} (T(z_{1})T(z_{2}))_{21} &=(-10y_{1})(x_{2}+7y_{2})+(x_{1}-7y_{1})(-10y_{2})\\[4pt] &=-10x_{2}y_{1}-70y_{1}y_{2}-10x_{1}y_{2}+70y_{1}y_{2}\\[4pt] &=-10x_{1}y_{2}-10x_{2}y_{1}. \end{aligned}
Cálculo da entrada (2,2):
\begin{aligned} (T(z_{1})T(z_{2}))_{22} &=(-10y_{1})(5y_{2})+(x_{1}-7y_{1})(x_{2}-7y_{2})\\[4pt] &=-50y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2}-7x_{1}y_{2}-7x_{2}y_{1}+49y_{1}y_{2}\\[4pt] &=x_{1}x_{2}-7x_{1}y_{2}-7x_{2}y_{1}-y_{1}y_{2}. \end{aligned}]

Passo 6

Agora comparamos as entradas obtidas em T(z_{1}z_{2}) (Passo 3) com as entradas do produto T(z_{1})T(z_{2}) (Passo 5). Para cada posição (i,j) vê-se igualdade termo a termo:
\begin{aligned} (T(z_{1}z_{2}))_{11}&=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}+7(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})=(T(z_{1})T(z_{2}))_{11},\\[4pt] (T(z_{1}z_{2}))_{12}&=5(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})=(T(z_{1})T(z_{2}))_{12},\\[4pt] (T(z_{1}z_{2}))_{21}&=-10(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})=(T(z_{1})T(z_{2}))_{21},\\[4pt] (T(z_{1}z_{2}))_{22}&=x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-7(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})=(T(z_{1})T(z_{2}))_{22}. \end{aligned}
Portanto todas as entradas coincidem, implicando que as duas matrizes são iguais.]

Passo 7

Conclusão e interpretação rápida: para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com z_{k}=x_{k}+i y_{k}, obtivemos
T(z_{1}z_{2})=T(z_{1})T(z_{2}).
Ou seja, T preserva a multiplicação complexa; é uma representação (um homomorfismo multiplicativo) de \mathbb{C} em M_{2}(\mathbb{R}). Mantenha a calma: a prova é só desenvolver a multiplicação complexa e multiplicar matrizes e comparar entradas — nada misterioso, só atenção na álgebra.

Resposta

T(z_{1}z_{2})=T(z_{1})T(z_{2}),\qquad \forall z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}.

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