Dados que vamos usar: a regra de multiplicação de números complexos e a definição de multiplicação de matrizes 2\times2. Para trabalhar explicitamente, tomaremos
z_{1}=x_{1}+i y_{1},\qquad z_{2}=x_{2}+i y_{2},
com x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\in\mathbb{R}.]
Passo 2
Lembrando como se multiplica complexos: se z_{1}=x_{1}+i y_{1} e z_{2}=x_{2}+i y_{2}, então
Aqui a parte real é \,x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\, e a parte imaginária é \,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,. Esta fórmula vem da distributividade e da relação i^{2}=-1.
Passo 3
Vamos aplicar T ao produto z_{1}z_{2}. Usando a decomposição acima, a parte real é \,x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}\, e a parte imaginária é \,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,. Assim
Multiplicamos as duas matrizes T(z_{1}) e T(z_{2}). Vou calcular cada entrada do produto T(z_{1})T(z_{2}) desenvolvendo as somas de produtos linha × coluna.
Agora comparamos as entradas obtidas em T(z_{1}z_{2}) (Passo 3) com as entradas do produto T(z_{1})T(z_{2}) (Passo 5). Para cada posição (i,j) vê-se igualdade termo a termo:
Portanto todas as entradas coincidem, implicando que as duas matrizes são iguais.]
Passo 7
Conclusão e interpretação rápida: para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com z_{k}=x_{k}+i y_{k}, obtivemos
T(z_{1}z_{2})=T(z_{1})T(z_{2}).
Ou seja, T preserva a multiplicação complexa; é uma representação (um homomorfismo multiplicativo) de \mathbb{C} em M_{2}(\mathbb{R}). Mantenha a calma: a prova é só desenvolver a multiplicação complexa e multiplicar matrizes e comparar entradas — nada misterioso, só atenção na álgebra.