Considere a função T: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(x+i y)=\left(\begin{array}{cc} x+7 y & 5 y \\\\ -10 y & x-7 y \end{array}\right)
Considerando \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R},
(a) prove que T é uma transformação linear.
(b) prove que T\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)=T\left(z_{1}\right) \cdot T\left(z_{2}\right), \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado fornece a transformação T:\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}) definida por
T(x+iy)=\begin{pmatrix}x+7y & 5y\\[4pt] -10y & x-7y\end{pmatrix},
onde x,y\in\mathbb{R}. Considerar \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R} significa que as operações escalares são feitas por escalares reais.
As perguntas são:
(a) Mostrar que T é uma transformação linear (isto é, preservar soma e multiplicação por escalares reais).
(b) Mostrar que T preserva o produto complexo, isto é,
T(z_1\cdot z_2)=T(z_1)\cdot T(z_2),\qquad\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}.]

Passo 2

Lembrando o que significa transformação linear (explicação didática): uma aplicação T de um espaço vetorial sobre \mathbb{R} em outro é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar real r, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(r u)=r\,T(u).
Aqui os “vetores” são números complexos vistos como pares (x,y); provar linearidade consiste em verificar essas duas propriedades para T.

Passo 3

Provar a aditividade T(z_1+z_2)=T(z_1)+T(z_2).
Sejam z_1=x_1+i y_1 e z_2=x_2+i y_2 com x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}. Então
z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).
Aplicando T ao somatório, temos
T(z_1+z_2) = \begin{pmatrix} (x_1+x_2)+7(y_1+y_2) & 5(y_1+y_2)\\[4pt] -10(y_1+y_2) & (x_1+x_2)-7(y_1+y_2) \end{pmatrix}.
Agora, somando T(z_1) e T(z_2) explicitamente:
T(z_1)+T(z_2) = \begin{pmatrix} x_1+7y_1 & 5y_1\\[4pt] -10y_1 & x_1-7y_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2+7y_2 & 5y_2\\[4pt] -10y_2 & x_2-7y_2 \end{pmatrix}.
Somando entrada a entrada obtém-se
T(z_1)+T(z_2) = \begin{pmatrix} (x_1+x_2)+7(y_1+y_2) & 5(y_1+y_2)\\[4pt] -10(y_1+y_2) & (x_1+x_2)-7(y_1+y_2) \end{pmatrix}.
Comparando com T(z_1+z_2) vemos que as matrizes são iguais. Logo T(z_1+z_2)=T(z_1)+T(z_2).]

Passo 4

Provar a homogeneidade T(r z)=r\,T(z) para r\in\mathbb{R}.
Seja z=x+iy e r\in\mathbb{R}. Então r z = (r x) + i(r y). Aplicando T,
T(rz)=\begin{pmatrix}r x + 7(r y) & 5(r y)\\[4pt] -10(r y) & r x -7(r y)\end{pmatrix}.
Fatorando r em cada entrada obtemos
T(rz)=r\begin{pmatrix}x+7y & 5y\\[4pt] -10y & x-7y\end{pmatrix}=r\,T(z).
Portanto T(rz)=r\,T(z) para todo r\in\mathbb{R}.]

Passo 5

Conclusão da parte (a): como verificamos aditividade e homogeneidade para escalares reais, T é linear quando \mathbb{C} é visto como espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Incentivo: você já fez a parte mais chata — checar entrada a entrada — e está funcionando certinho!

Passo 6

Preparação para a parte (b): estratégia e observação útil.
Vamos mostrar que T transforma produto complexo em produto de matrizes. Uma observação que simplifica os cálculos é escrever T como combinação linear das matrizes I e A, onde I é a matriz identidade e A é a matriz associada ao coeficiente de y. Defina
I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}7&5\\[4pt]-10&-7\end{pmatrix}.
Então, para z=x+iy,
T(z)=xI+yA.
Essa forma é útil porque o produto T(z_1)T(z_2) pode ser expandido como polinômio em I e A; precisamos apenas saber como A se comporta quando elevado ao quadrado.]

Passo 7

Calcular A^2 (feita a conta passo a passo).
Multiplicando A por si mesma:
A^2= \begin{pmatrix}7&5\\[4pt]-10&-7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}7&5\\[4pt]-10&-7\end{pmatrix}.
Calculemos entrada a entrada:
  • Entrada (1,1): 7\cdot 7 + 5\cdot(-10)=49-50=-1.
  • Entrada (1,2): 7\cdot 5 + 5\cdot(-7)=35-35=0.
  • Entrada (2,1): (-10)\cdot 7 + (-7)\cdot(-10) = -70+70=0.
  • Entrada (2,2): (-10)\cdot 5 + (-7)\cdot(-7)= -50+49=-1.
Portanto
A^2=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}=-I.
Este resultado é muito natural: A atua como uma versão matricial da unidade imaginária, pois satisfaz A^2=-I.]

Passo 8

Expandir T(z_1)T(z_2) e comparar com T(z_1 z_2).
Sejam z_1=x_1+i y_1 e z_2=x_2+i y_2. Usando a decomposição T(z)=xI+yA, temos
T(z_1)T(z_2)=(x_1I+y_1A)(x_2I+y_2A).
Expandindo (distributividade das matrizes):
T(z_1)T(z_2)=x_1x_2 I + (x_1y_2 + x_2y_1)A + y_1y_2 A^2.
Substituindo A^2=-I obtém-se
T(z_1)T(z_2)=\bigl(x_1x_2 - y_1y_2\bigr)I + \bigl(x_1y_2 + x_2y_1\bigr)A.
Agora observe que o produto complexo é
z_1 z_2=(x_1x_2 - y_1y_2) + i\,(x_1y_2 + x_2y_1).
Aplicando T a esse número complexo, pela definição T(x+iy)=xI+yA, obtemos exatamente
T(z_1 z_2)=\bigl(x_1x_2 - y_1y_2\bigr)I + \bigl(x_1y_2 + x_2y_1\bigr)A.
Comparando as duas expressões conclui-se que
T(z_1 z_2)=T(z_1)T(z_2).

Passo 9

Conclusão da parte (b): T preserva o produto complexo, isto é, é um homomorfismo de anéis \mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}) (além de ser linear sobre \mathbb{R}). Pequeno incentivo final: a ideia-chave foi notar que a parte associada a y gera uma matriz A com A^2=-I, o que replica a relação i^2=-1 dentro das matrizes.

Resposta

(a) T é linear como transformação de \mathbb{C} (visto sobre \mathbb{R}) em M_2(\mathbb{R}).
(b) T(z_1\cdot z_2)=T(z_1)\cdot T(z_2) para todos z_1,z_2\in\mathbb{C}.

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