Considere a função T: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por
T(x+i y)=\left(\begin{array}{cc} x+7 y & 5 y \\\\ -10 y & x-7 y \end{array}\right)
Considerando \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R},
(a) prove que T é uma transformação linear.
(b) prove que T\left(z_{1} \cdot z_{2}\right)=T\left(z_{1}\right) \cdot T\left(z_{2}\right), \forall z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação T:\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}) definida por
onde x,y\in\mathbb{R}. Considerar \mathbb{C} como espaço vetorial sobre \mathbb{R} significa que as operações escalares são feitas por escalares reais.
As perguntas são:
(a) Mostrar que T é uma transformação linear (isto é, preservar soma e multiplicação por escalares reais).
(b) Mostrar que T preserva o produto complexo, isto é,
Lembrando o que significa transformação linear (explicação didática): uma aplicação T de um espaço vetorial sobre \mathbb{R} em outro é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar real r, valem
Conclusão da parte (a): como verificamos aditividade e homogeneidade para escalares reais, T é linear quando \mathbb{C} é visto como espaço vetorial sobre \mathbb{R}. Incentivo: você já fez a parte mais chata — checar entrada a entrada — e está funcionando certinho!
Passo 6
Preparação para a parte (b): estratégia e observação útil.
Vamos mostrar que T transforma produto complexo em produto de matrizes. Uma observação que simplifica os cálculos é escrever T como combinação linear das matrizes I e A, onde I é a matriz identidade e A é a matriz associada ao coeficiente de y. Defina
Essa forma é útil porque o produto T(z_1)T(z_2) pode ser expandido como polinômio em I e A; precisamos apenas saber como A se comporta quando elevado ao quadrado.]
Conclusão da parte (b): T preserva o produto complexo, isto é, é um homomorfismo de anéis \mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}) (além de ser linear sobre \mathbb{R}). Pequeno incentivo final: a ideia-chave foi notar que a parte associada a y gera uma matriz A com A^2=-I, o que replica a relação i^2=-1 dentro das matrizes.
Resposta
(a) T é linear como transformação de \mathbb{C} (visto sobre \mathbb{R}) em M_2(\mathbb{R}).
(b) T(z_1\cdot z_2)=T(z_1)\cdot T(z_2) para todos z_1,z_2\in\mathbb{C}.