Seja
um autovalor do operador linear
. Mostre que
Nuc
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade de conjuntos:
- Há um espaço vetorial
e um operador linear . -
é um autovalor de . Isso significa que existe pelo menos um vetor não-nulo tal que . - A tarefa é mostrar que
Informações relevantes que vamos usar (sem ainda resolver):
- O que significa
(espaço próprio associado a ). - O que significa
para um operador (o núcleo / kernel de ). - O operador
é definido em cada vetor por .
Passo 2
Definições detalhadas e interpretação das notações (aqui explico cada símbolo para não deixar nada confuso):
- Definição de espaço próprio (autespaço):
é o conjunto de todos os vetores tais que . Ou seja,
Observação: pelo costume, o vetor nulo
pertence a esse conjunto (mesmo que um autovetor propriamente dito seja não-nulo); o conjunto assim definido é um subespaço de
.
- Definição de núcleo (Nuc): para um operador linear
,
ou seja, é o conjunto de vetores enviados para o vetor nulo por
.
- Definição do operador
: aqui é o operador identidade definido por para todo . Então, para cada ,
Com estas definições, escrever a igualdade pedida em termos destes conjuntos fica claro:
Passo 3
Mostro a inclusão
.
Seja
. Pela definição de
temos
. Aplicando a definição de
obtemos
Substituindo
resulta
Portanto
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos a inclusão desejada.
Passo 4
Mostro a inclusão inversa
.
Seja
. Pela definição do núcleo,
. Usando a forma explícita do operador:
Rearranjando esta igualdade obtemos
Isto exatamente diz que
. Como
foi arbitrário no núcleo, a inclusão inversa está provada.
Passo 5
Conclusão da prova por dupla inclusão.
Das duas inclusões dos Passos 3 e 4 segue que os conjuntos coincidem:
Comentário final para fixar a intuição: em termos de matrizes, se
é representado por uma matriz
(na alguma base), então o autespaço associado a
é exatamente o núcleo da matriz
, que é a maneira habitual de encontrar autovetores resolvendo
.