Seja \lambda um autovalor do operador linear T: V \rightarrow V. Mostre que \operatorname{Aut}_{T}(\lambda)= Nuc (T-\lambda I d).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma igualdade de conjuntos:
  • Há um espaço vetorial V e um operador linear T: V \to V.
  • \lambda é um autovalor de T. Isso significa que existe pelo menos um vetor não-nulo v\in V tal que T(v)=\lambda v.
  • A tarefa é mostrar que
\operatorname{Aut}_{T}(\lambda)=\operatorname{Nuc}\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr).
Informações relevantes que vamos usar (sem ainda resolver):
  • O que significa \operatorname{Aut}_{T}(\lambda) (espaço próprio associado a \lambda).
  • O que significa \operatorname{Nuc}(S) para um operador S (o núcleo / kernel de S).
  • O operador T-\lambda\mathrm{Id} é definido em cada vetor v por (T-\lambda\mathrm{Id})(v)=T(v)-\lambda v.

Passo 2

Definições detalhadas e interpretação das notações (aqui explico cada símbolo para não deixar nada confuso):
  • Definição de espaço próprio (autespaço): \operatorname{Aut}_{T}(\lambda) é o conjunto de todos os vetores v\in V tais que T(v)=\lambda v. Ou seja,
\operatorname{Aut}_{T}(\lambda)=\{\,v\in V \mid T(v)=\lambda v\,\}.
Observação: pelo costume, o vetor nulo 0 pertence a esse conjunto (mesmo que um autovetor propriamente dito seja não-nulo); o conjunto assim definido é um subespaço de V.
  • Definição de núcleo (Nuc): para um operador linear S:V\to V,
\operatorname{Nuc}(S)=\{\,v\in V \mid S(v)=0\,\},
ou seja, é o conjunto de vetores enviados para o vetor nulo por S.
  • Definição do operador T-\lambda\mathrm{Id}: aqui \mathrm{Id}:V\to V é o operador identidade definido por \mathrm{Id}(v)=v para todo v\in V. Então, para cada v\in V,
\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr)(v)=T(v)-\lambda\mathrm{Id}(v)=T(v)-\lambda v.
Com estas definições, escrever a igualdade pedida em termos destes conjuntos fica claro:
\{\,v\in V \mid T(v)=\lambda v\,\} \stackrel{?}{=} \{\,v\in V \mid (T-\lambda\mathrm{Id})(v)=0\,\}.

Passo 3

Mostro a inclusão \operatorname{Aut}_{T}(\lambda)\subseteq \operatorname{Nuc}(T-\lambda\mathrm{Id}).
Seja v\in \operatorname{Aut}_{T}(\lambda). Pela definição de \operatorname{Aut}_{T}(\lambda) temos T(v)=\lambda v. Aplicando a definição de T-\lambda\mathrm{Id} obtemos
\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr)(v)=T(v)-\lambda v.
Substituindo T(v)=\lambda v resulta
\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr)(v)=\lambda v-\lambda v=0.
Portanto v\in \operatorname{Nuc}(T-\lambda\mathrm{Id}). Como v foi um elemento arbitrário de \operatorname{Aut}_{T}(\lambda), concluímos a inclusão desejada.

Passo 4

Mostro a inclusão inversa \operatorname{Nuc}(T-\lambda\mathrm{Id})\subseteq \operatorname{Aut}_{T}(\lambda).
Seja v\in \operatorname{Nuc}(T-\lambda\mathrm{Id}). Pela definição do núcleo, (T-\lambda\mathrm{Id})(v)=0. Usando a forma explícita do operador:
0=(T-\lambda\mathrm{Id})(v)=T(v)-\lambda v.
Rearranjando esta igualdade obtemos
T(v)=\lambda v.
Isto exatamente diz que v\in \operatorname{Aut}_{T}(\lambda). Como v foi arbitrário no núcleo, a inclusão inversa está provada.

Passo 5

Conclusão da prova por dupla inclusão.
Das duas inclusões dos Passos 3 e 4 segue que os conjuntos coincidem:
\operatorname{Aut}_{T}(\lambda)=\operatorname{Nuc}\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr).
Comentário final para fixar a intuição: em termos de matrizes, se T é representado por uma matriz A (na alguma base), então o autespaço associado a \lambda é exatamente o núcleo da matriz A-\lambda I, que é a maneira habitual de encontrar autovetores resolvendo (A-\lambda I)x=0.

Resposta

\operatorname{Aut}_{T}(\lambda)=\operatorname{Nuc}\bigl(T-\lambda\mathrm{Id}\bigr)

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