Aplique o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para o subespaço W= \operatorname{span}\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}, em que
A projeção de um vetor v sobre um vetor w (com produto interno padrão em \mathbb{R}^n) é dada por\operatorname{proj}_{w}(v)=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w,onde \langle a,b\rangle é o produto interno padrão (soma dos produtos de componentes).
Depois obtemos a base ortonormal normalizando cada u_i:e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|},\qquad \|u_i\|=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}.
Essa construção garante que os u_i sejam ortogonais e os e_i ortonormais.
Comentário rápido de verificação (motivacional): por construção u_2 é ortogonal a u_1 e u_3 é ortogonal a ambos u_1 e u_2. Depois da normalização obtemos um conjunto ortonormal. Se quiser conferir com produto interno, pode calcular \langle e_i,e_j\rangle e ver que dá 0 para i\neq j e 1 para i=j.