Aplique o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para o subespaço W= \operatorname{span}\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\}, em que
x_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad x_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad x_{3}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado pede para construir uma base ortonormal para o subespaço W=\operatorname{span}\{x_{1},x_{2},x_{3}\}. Os vetores dados são:
x_{1}=\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix},\qquad x_{2}=\begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix},\qquad x_{3}=\begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}.
O objetivo final é fornecer três vetores ortonormais e_{1},e_{2},e_{3} que formem uma base de W.

Passo 2

Vou explicar rapidamente o método de Gram–Schmidt (passo a passo, sem pular nada).
  • Começamos com vetores linearmente independentes x_1,x_2,x_3.
  • Definimos vetores u_1,u_2,u_3 que serão mutuamente ortogonais, onde u_1 = x_1,
u_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_2),
u_3 = x_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(x_3).
  • A projeção de um vetor v sobre um vetor w (com produto interno padrão em \mathbb{R}^n) é dada por \operatorname{proj}_{w}(v)=\frac{\langle v,w\rangle}{\langle w,w\rangle}\,w,onde \langle a,b\rangle é o produto interno padrão (soma dos produtos de componentes).
  • Depois obtemos a base ortonormal normalizando cada u_i: e_i = \frac{u_i}{\|u_i\|},\qquad \|u_i\|=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}.
Essa construção garante que os u_i sejam ortogonais e os e_i ortonormais.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro vetor:
u_1 = x_1 = \begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix}.
Calcular a norma ao quadrado:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2 = 4,
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\|u_1\| = 2.
Normalizando:
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix}.

Passo 4

Agora construímos u_2. Primeiro a projeção de x_2 em u_1:
Calcule o produto interno \langle x_2,u_1\rangle:
\langle x_2,u_1\rangle = 2\cdot1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = 2-1+0+1 = 2.
Sabemos \langle u_1,u_1\rangle = 4, então
\operatorname{proj}_{u_1}(x_2) = \frac{2}{4}\,u_1 = \frac{1}{2}\,u_1 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1/2\\\ -1/2\\\ -1/2\\\ 1/2\end{bmatrix}.
Subtraindo:
u_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_2) = \begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1/2\\\ -1/2\\\ -1/2\\\ 1/2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3/2\\\ 3/2\\\ 1/2\\\ 1/2\end{bmatrix}.
Observação útil: podemos escrever
u_2 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}3\\\ 3\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix},
o que facilita contas.

Passo 5

Calcular a norma de u_2:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}+\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{20}{4}=5.
Logo \|u_2\|=\sqrt{5}. Normalizando:
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}3/2\\\ 3/2\\\ 1/2\\\ 1/2\end{bmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{5}}\begin{bmatrix}3\\\ 3\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}.

Passo 6

Agora u_3. Precisamos das projeções de x_3 em u_1 e em u_2.
Primeiro \operatorname{proj}_{u_1}(x_3). Calcule \langle x_3,u_1\rangle:
\langle x_3,u_1\rangle = 2\cdot1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot(-1) + 2\cdot1 = 2-2-1+2 = 1.
Como \langle u_1,u_1\rangle=4,
\operatorname{proj}_{u_1}(x_3)=\frac{1}{4}\,u_1=\begin{bmatrix}1/4\\\ -1/4\\\ -1/4\\\ 1/4\end{bmatrix}.
Agora \operatorname{proj}_{u_2}(x_3). Calcule \langle x_3,u_2\rangle. Usando a forma u_2=\begin{bmatrix}3/2\\\ 3/2\\\ 1/2\\\ 1/2\end{bmatrix}:
\langle x_3,u_2\rangle = 2\cdot\frac{3}{2} + 2\cdot\frac{3}{2} + 1\cdot\frac{1}{2} + 2\cdot\frac{1}{2} = 3 + 3 + \tfrac{1}{2} + 1 = 7{,}5 = \frac{15}{2}.
Já temos \langle u_2,u_2\rangle = 5, então
\operatorname{proj}_{u_2}(x_3) = \frac{\tfrac{15}{2}}{5}\,u_2 = \frac{15}{10}\,u_2 = \frac{3}{2}\,u_2.
Calculando explicitamente:
\frac{3}{2}\,u_2 = \frac{3}{2}\begin{bmatrix}3/2\\\ 3/2\\\ 1/2\\\ 1/2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9/4\\\ 9/4\\\ 3/4\\\ 3/4\end{bmatrix}.

Passo 7

Subtraindo as projeções de x_3 para obter u_3:
u_3 = x_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(x_3).
Somando as projeções:
\operatorname{proj}_{u_1}(x_3)+\operatorname{proj}_{u_2}(x_3) = \begin{bmatrix}1/4\\\ -1/4\\\ -1/4\\\ 1/4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9/4\\\ 9/4\\\ 3/4\\\ 3/4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10/4\\\ 8/4\\\ 2/4\\\ 4/4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5/2\\\ 2\\\ 1/2\\\ 1\end{bmatrix}.
Então
u_3 = \begin{bmatrix}2\\\ 2\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}5/2\\\ 2\\\ 1/2\\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1/2\\\ 0\\\ 1/2\\\ 1\end{bmatrix}.
Também podemos escrever
u_3 = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}.

Passo 8

Calcular a norma de u_3:
\langle u_3,u_3\rangle = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \tfrac{1}{4} + 0 + \tfrac{1}{4} + 1 = \tfrac{3}{2}.
Logo \|u_3\|=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Normalizando u_3:
e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|} = \frac{\tfrac{1}{2}\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}}{\sqrt{3/2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3/2}}\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}.
Simplificando o fator escalar:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3/2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
Portanto
e_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}.

Passo 9

Comentário rápido de verificação (motivacional): por construção u_2 é ortogonal a u_1 e u_3 é ortogonal a ambos u_1 e u_2. Depois da normalização obtemos um conjunto ortonormal. Se quiser conferir com produto interno, pode calcular \langle e_i,e_j\rangle e ver que dá 0 para i\neq j e 1 para i=j.

Resposta

e_{1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{bmatrix}
e_{2}=\frac{1}{2\sqrt{5}}\begin{bmatrix}3\\\ 3\\\ 1\\\ 1\end{bmatrix}
e_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}

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