Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{n} dado por sua matriz
T]_{\mathcal{B}}\) é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e a sua forma diagonal.
\(\left(\begin{array}{ccc}2 & 6 & 3 \\\\ -3 & -7 & -3 \\\\ 6 & 12 & 5\end{array}\right) \begin{gathered}\mathbb{K}=\mathbb{R} \\\ n=3\end{gathered}\)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
Dá a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base \mathcal{B}:
Pede: decidir se T (ou seja, A) é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Se for, calcular uma base de autovetores e a forma diagonal correspondente.\n
Observações claras sobre o pedido:\n
Preciso encontrar os autovalores (valores próprios) de A e suas multiplicidades algébrica e geométrica.\n
Se a soma das multiplicidades geométricas for 3 então A será diagonalizável; caso contrário, não.
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (explicados de modo prático):\n
Autovalor \lambda é número tal que existe v\neq0 com Av=\lambda v. Autovetor é esse v.\n
Para encontrar autovalores calculo o polinômio característico \det(A-\lambda I) e encontro suas raízes; a multiplicidade de uma raiz é a multiplicidade algébrica.\n
Para cada autovalor resolvo (A-\lambda I)x=0 para achar o espaço próprio (eigenspace). A dimensão desse espaço é a multiplicidade geométrica.\n
Regra prática de diagonalização: A é diagonalizável sobre \mathbb{R} se, para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, equivalendo a ter 3 vetores próprios linearmente independentes no total.\n
Vou então calcular \det(A-\lambda I) passo a passo.
Observação rápida: a segunda linha é -1 vez a primeira e a terceira linha é 2 vezes a primeira, logo o posto é 1. Portanto sobra apenas uma equação independente. Escrevendo essa equação (dividida por 3):
x_1+2x_2+x_3=0.
Tomando parâmetros x_2=s e x_3=t livres, obtemos
x_1=-2s-t,
ou seja
x=s(-2,1,0)+t(-1,0,1).
Portanto uma base do espaço próprio associado a \lambda=-1 é, por exemplo, \{(-2,1,0),\;(-1,0,1)\}. A dimensão do espaço próprio é 2, igual à multiplicidade algébrica de \lambda=-1.
Passo 6
Conclusão sobre diagonalização e forma diagonal:\n
As dimensões dos espaços próprios somam 1+2=3, que é n. Logo existem 3 autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável sobre \mathbb{R}.\n
Uma base de \mathbb{R}^3 constituída por autovetores é, por exemplo,