Considere a função h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por:
h(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{3+r^{2}} d r
Qual a declividade da reta tangente ao gráfico de h no ponto (-1, h(-1)) ?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define
h(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sqrt{3+r^{2}}\;dr
e pede a declividade (ou seja, a derivada) da reta tangente ao gráfico de h no ponto x=-1.
O conteúdo aqui é o uso do Teorema Fundamental do Cálculo junto com a Regra da Cadeia para derivar uma integral com limite superior dependente de x.

Passo 2

Seja
H(x)=\int_{0}^{g(x)}f(r)\;dr,
então pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia vale
H'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
No nosso caso, f(r)=\sqrt{3+r^{2}} e g(x)=x^{2}. Logo,
h'(x)=\sqrt{3+(x^{2})^{2}}\;\cdot(2x) =2x\,\sqrt{3+x^{4}}.

Passo 3

Para encontrar a declividade no ponto x=-1, calculamos
h'(-1)=2\cdot(-1)\,\sqrt{3+(-1)^{4}} =-2\,\sqrt{3+1} =-2\,\sqrt{4} =-2\cdot2 =-4.

Resposta

-4

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