(
) Uma régua de um metro e
de massa é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiadas em uma mesa e depois liberada. Considere a régua como uma barra fina. (a) Determine a velocidade da outra extremidade da régua pouco antes de tocar a mesa, supondo que a outra extremidade de apoio não escorrega. (b) Quanto tempo a régua demora para tocar a mesa?
Passo 1
O enunciado trata de uma régua uniforme de comprimento
e massa
, presa sem deslizar por uma de suas extremidades e mantida na vertical. Quando liberada, ela gira em torno dessa extremidade até ficar horizontal (tocando a mesa).
Conteúdo: momento de inércia de barra fina em torno de uma extremidade e conservação de energia para obter a velocidade da extremidade livre; depois, análise do tempo de queda via integral da equação do movimento angular.
Conteúdo: momento de inércia de barra fina em torno de uma extremidade e conservação de energia para obter a velocidade da extremidade livre; depois, análise do tempo de queda via integral da equação do movimento angular.
Passo 2
Para achar a velocidade da extremidade livre pouco antes de tocar a mesa, usamos conservação de energia. A energia potencial inicial (com centro de massa a uma altura
acima da horizontal)
vira energia cinética de rotação no instante imediatamente antes do impacto,
onde o momento de inércia de uma barra fina girando em torno de uma das extremidades é
Passo 3
Igualando
e
,
A velocidade da extremidade livre, a distância
do pivô, é
Substituindo
e
,
Passo 4
Para o tempo de queda
, escrevemos a equação diferencial angular
ou, via conservação de energia, o perfil da velocidade angular em função de
:
Então
e o tempo para
variar de
a
é
Passo 5
Perto de
, temos
, de modo que o integrando se comporta como
,
logo a integral diverge no limite inferior. Isso significa que, partindo exatamente da vertical sem perturbação inicial, o tempo teórico para sair desse ponto de equilíbrio é infinito.
logo a integral diverge no limite inferior. Isso significa que, partindo exatamente da vertical sem perturbação inicial, o tempo teórico para sair desse ponto de equilíbrio é infinito.
Resposta
(a)
(b) (o tempo diverge, pois a régua em posição vertical é um equilíbrio instável).
(b)