( \mathbf{2 , 0 ~ p t} ) Para \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} a roda de um esmeril possui velocidade angular igual a 20 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Ela possui uma aceleração angular constante igual a 32 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} desde \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} até \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}, quando um freio é acionado. A partir deste instante ela gira 432 rad à medida que para com uma aceleração angular constante. (a) Qual foi o deslocamento angular total da roda desde \mathrm{t}=0 \mathrm{~s} até o instante em que a roda parou? (b) Em que instante ela parou? (c) Qual o módulo da sua aceleração quando ela diminuía de velocidade?

Passo 1

O enunciado dá uma roda com velocidade angular inicial \omega_{0}=20\,\mathrm{rad/s} em t=0, que acelera com \alpha_{1}=32\,\mathrm{rad/s^{2}} de t=0 até t=2 s, e em seguida recebe um freio até parar, descrevendo \Delta\theta=432 rad com aceleração constante \alpha_{2}. Para resolver vamos usar as fórmulas da cinemática rotacional com aceleração constante:
\theta = \omega_{0}t + \tfrac12\alpha\,t^{2},
\omega = \omega_{0} + \alpha\,t e
\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\alpha\,\Delta\theta.

Passo 2

Na primeira fase ( 0\le t\le2 s) o deslocamento angular é
\theta_{1} = \omega_{0}t + \tfrac12\,\alpha_{1}\,t^{2} = 20\cdot2 + \tfrac12\cdot32\cdot2^{2} = 40 + 64 = 104\text{ rad},
e a velocidade ao final dessa fase é
\omega_{1} = \omega_{0} + \alpha_{1}\,t = 20 + 32\cdot2 = 84\text{ rad/s}.

Passo 3

Na fase de frenagem, a roda parte de \omega_{1}=84 rad/s até \omega_{\!f}=0, percorrendo \Delta\theta=432 rad. Aplicando
\omega_{\!f}^{2} = \omega_{1}^{2} + 2\,\alpha_{2}\,\Delta\theta \quad\Longrightarrow\quad 0 = 84^{2} + 2\,\alpha_{2}\cdot432
vemos que
\alpha_{2} = -\,\frac{84^{2}}{2\cdot432} = -\,\frac{7056}{864} \approx -\,8{,}17\;\mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 4

O tempo de frenagem t_{2} atende
0 = \omega_{1} + \alpha_{2}\,t_{2} \quad\Longrightarrow\quad t_{2} = -\,\frac{\omega_{1}}{\alpha_{2}} = \frac{84}{8{,}17}\approx10{,}29\text{ s}.
Logo o instante de parada, medido desde t=0, é
t_{\text{parada}} = 2 + t_{2} \approx 2 + 10{,}29 = 12{,}29\text{ s}.

Passo 5

O deslocamento total é a soma das duas fases:
\theta_{\text{total}} = \theta_{1} + 432 = 104 + 432 = 536\text{ rad}.

Resposta

(a) \theta_{\text{total}} = 536 rad.
(b) t_{\text{parada}} \approx 12,29 s.
(c) |\alpha_{2}| \approx 8,17 rad/ s^{2}.

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