Seja E o sólido localizado entre as esferas de raios 2,4 e 4,5 , ambas centradas na origem, e acima do semi-cone
.
Determine o volume do sólido E.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O enunciado descreve o sólido
formado pelos pontos que estão entre duas esferas centradas na origem, de raios e (peguei estes dois valores do enunciado), e que estão acima do semi-cone dado por . - O que se pede: determinar o volume do sólido
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Esferas centradas na origem com raios
e . Portanto a coordenada radial (distância ao centro) varia entre e . - Cone dado por
. Isso impõe uma condição angular (uma restrição no ângulo polar) que limita a região “acima do cone”. - O sólido corresponde à faixa entre as duas esferas, mas apenas a porção que está acima (no sentido positivo de
) do cone.
Passo 2
Escolha de coordenadas e interpretação geométrica (explicando a técnica passo a passo).
-
Motivação: o sólido é descrito por esferas centradas na origem e por um cone com vértice na origem. Em problemas com simetria radial/angulares a melhor escolha é usar coordenadas esféricas
. Vou explicar o que são e por que usar: -
Em coordenadas esféricas:onde
é a distância ao centro (origem), é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo (ou seja, aponta para cima no eixo ), e é o ângulo azimutal no plano . -
O elemento de volume em esféricas (o “Jacobiano”) éExplico por que: ao transformar coordenadas há um fator de escala que, para esféricas, é
; ele aparece por conta da combinação de variações radiais e angulares — é a área do elemento angular multiplicada pela pequena espessura radial.
-
-
Converter a equação do cone para coordenadas esféricas:
-
No cone
podemos escrever e . Assim Comonessa região, simplificamos e obtemos Isso significaO ângulo cujo tangente éé (porque ). Então o cone corresponde ao ângulo polar . -
“Acima do cone” significa pontos com
maiores do que a superfície do cone. Em termos de isso corresponde a ângulos menores (mais próximos do eixo positivo). Portanto a região acima do cone é
-
-
Limites para
e : - A faixa entre as esferas centradas na origem com raios
e dá - A simetria em torno do eixo
implica varrendo todo o círculo:
- A faixa entre as esferas centradas na origem com raios
-
Conclusão do setup: o volume
do sólido é dado pela integral tripla em coordenadas esféricas
Passo 3
Avaliar a integral passo a passo (mostrando cada cálculo e aula rápida para cada integração).
-
Escrevo a integral já separada por variáveis (note que a integral é multiplicativa por separação de variáveis porque o integrando se factoriza em função de
e ): -
Primeiro calcule a integral em
. Lembra: . Então Agora calculo os cubos (faço as contas detalhadas):
Subtraindo:
Portanto
-
Agora a integral em
: . Então E. Logo -
A integral em
é simples: -
Juntando tudo:
-
Posso escrever uma forma exata (com fator racional) antes de avaliar numericamente: como
, temos
Passo 4
Cálculo numérico e interpretação final (faço a multiplicação com cuidado para ter um número que dê para conferir na prova).
-
Avaliando numericamente o fator angular:
-
Multiplicando:EntãoFinalmente, em valor numérico:
-
Resumo: tenho a forma exata em termos de potências e
, e a aproximação decimal para verificação.