Seja E o sólido localizado entre as esferas de raios 2,4 e 4,5 , ambas centradas na origem, e acima do semi-cone z=\sqrt{3 x^{2}+3 y^{2}}.
Determine o volume do sólido E.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado descreve o sólido E formado pelos pontos que estão entre duas esferas centradas na origem, de raios (2{,}4) e (4{,}5) (peguei estes dois valores do enunciado), e que estão acima do semi-cone dado por z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}.
  • O que se pede: determinar o volume do sólido E.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Esferas centradas na origem com raios (2{,}4) e (4{,}5). Portanto a coordenada radial (distância ao centro) varia entre \rho=2{,}4 e \rho=4{,}5.
  • Cone dado por z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}}. Isso impõe uma condição angular (uma restrição no ângulo polar) que limita a região “acima do cone”.
  • O sólido corresponde à faixa entre as duas esferas, mas apenas a porção que está acima (no sentido positivo de z) do cone.

Passo 2

Escolha de coordenadas e interpretação geométrica (explicando a técnica passo a passo).
  • Motivação: o sólido é descrito por esferas centradas na origem e por um cone com vértice na origem. Em problemas com simetria radial/angulares a melhor escolha é usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta). Vou explicar o que são e por que usar:
    • Em coordenadas esféricas:
      x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
      onde \rho\ge0 é a distância ao centro (origem), \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo (ou seja, \varphi=0 aponta para cima no eixo z), e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
    • O elemento de volume em esféricas (o “Jacobiano”) é
      dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
      Explico por que: ao transformar coordenadas há um fator de escala que, para esféricas, é \rho^{2}\sin\varphi; ele aparece por conta da combinação de variações radiais e angulares — é a área do elemento angular multiplicada pela pequena espessura radial.
  • Converter a equação do cone para coordenadas esféricas:
    • No cone z=\sqrt{3x^{2}+3y^{2}} podemos escrever z=\rho\cos\varphi e \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho\sin\varphi. Assim
      \rho\cos\varphi=\sqrt{3}\,\rho\sin\varphi.
      Como \rho>0 nessa região, simplificamos \rho e obtemos
      \cos\varphi=\sqrt{3}\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cot\varphi=\sqrt{3}.
      Isso significa
      \tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}.
      O ângulo cujo tangente é 1/\sqrt{3} é \varphi=\pi/6 (porque \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}). Então o cone corresponde ao ângulo polar \varphi=\pi/6.
    • “Acima do cone” significa pontos com z maiores do que a superfície do cone. Em termos de \varphi isso corresponde a ângulos \varphi menores (mais próximos do eixo z positivo). Portanto a região acima do cone é
      0\le\varphi\le\frac{\pi}{6}.
  • Limites para \rho e \theta:
    • A faixa entre as esferas centradas na origem com raios 2{,}4 e 4{,}5 2{,}4\le\rho\le4{,}5.
    • A simetria em torno do eixo z implica \theta varrendo todo o círculo: 0\le\theta\le2\pi.
  • Conclusão do setup: o volume V do sólido E é dado pela integral tripla em coordenadas esféricas
    V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/6}\int_{\rho=2{,}4}^{4{,}5}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Avaliar a integral passo a passo (mostrando cada cálculo e aula rápida para cada integração).
  • Escrevo a integral já separada por variáveis (note que a integral é multiplicativa por separação de variáveis porque o integrando se factoriza em função de \rho e \varphi):
    V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi\;\int_{2{,}4}^{4{,}5}\rho^{2}\,d\rho.
  • Primeiro calcule a integral em \rho. Lembra: \displaystyle\int \rho^{2}\,d\rho=\frac{\rho^{3}}{3}. Então
    \int_{2{,}4}^{4{,}5}\rho^{2}\,d\rho=\frac{1}{3}\Bigl[(4{,}5)^{3}-(2{,}4)^{3}\Bigr].
    Agora calculo os cubos (faço as contas detalhadas):
    (4{,}5)^{2}=20{,}25,\qquad (4{,}5)^{3}=20{,}25\times4{,}5=91{,}125.
(2{,}4)^{2}=5{,}76,\qquad (2{,}4)^{3}=5{,}76\times2{,}4=13{,}824.
Subtraindo:
(4{,}5)^{3}-(2{,}4)^{3}=91{,}125-13{,}824=77{,}301.
Portanto
\int_{2{,}4}^{4{,}5}\rho^{2}\,d\rho=\frac{77{,}301}{3}=25{,}767.
  • Agora a integral em \varphi: \displaystyle\int \sin\varphi\,d\varphi=-\cos\varphi. Então
    \int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi=[-\cos\varphi]_{0}^{\pi/6}=1-\cos\frac{\pi}{6}.
    E \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Logo
    \int_{0}^{\pi/6}\sin\varphi\,d\varphi=1-\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • A integral em \theta é simples:
    \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
  • Juntando tudo:
    V=2\pi\cdot\Bigl(25{,}767\Bigr)\cdot\Bigl(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).
  • Posso escrever uma forma exata (com fator racional) antes de avaliar numericamente: como 25{,}767=\dfrac{1}{3}\bigl[(4{,}5)^{3}-(2{,}4)^{3}\bigr], temos
    V=\frac{2\pi}{3}\Bigl((4{,}5)^{3}-(2{,}4)^{3}\Bigr)\Bigl(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr).

Passo 4

Cálculo numérico e interpretação final (faço a multiplicação com cuidado para ter um número que dê para conferir na prova).
  • Avaliando numericamente o fator angular:
    1-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 1-0,8660254=0,1339746.
  • Multiplicando:
    2\pi\cdot25{,}767\approx51{,}534\pi.
    Então
    V\approx 51{,}534\pi\times0,1339746\approx6{,}904256\pi.
    Finalmente, em valor numérico:
    V\approx 6{,}904256\times\pi\approx21{,}6904\quad\text{(unidades de volume)}.
  • Resumo: tenho a forma exata em termos de potências e \pi,\sqrt{3}, e a aproximação decimal para verificação.

Resposta

V=\frac{2\pi}{3}\Bigl((4{,}5)^{3}-(2{,}4)^{3}\Bigr)\Bigl(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)\approx21{,}6904

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