Mostre que a função
possui uma única raiz no intervalo [1, 2].
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. Aqui, estamos lidando com o estudo de funções e, mais especificamente, analisando onde a função cruza o eixo x (ou seja, onde
). Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e verificar se a função é crescente ou decrescente no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo [1, 2]. Uma função é contínua se não tem saltos ou interrupções nesse intervalo. A nossa função é composta por
e
, que são contínuas para
. Como 1 e 2 são maiores que 0,
é contínua em [1, 2].
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Isso nos ajuda a verificar se a função muda de sinal, o que indicaria a existência de pelo menos uma raiz.
Para
:
Para
:
Passo 4
Observamos que
e
. A função passa de negativo para positivo no intervalo [1, 2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, isso garante que existe pelo menos um ponto
em [1, 2] onde
, ou seja, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Para mostrar que essa raiz é única, precisamos verificar se a função
é estritamente crescente ou decrescente no intervalo. Vamos calcular a derivada de
:
Como
está no intervalo [1, 2], tanto
quanto
são positivos. Portanto,
para todo
em [1, 2], o que indica que
é estritamente crescente nesse intervalo.
Passo 6
Como a função é contínua, muda de sinal e é estritamente crescente no intervalo [1, 2], ela só pode cruzar o eixo x uma única vez. Portanto, a função
possui exatamente uma raiz nesse intervalo.
Resposta
A função
possui uma única raiz no intervalo [1, 2].