Mostre que a função f(x)=3 raizx+ln x-4 possui uma única raiz no intervalo [1, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função tem uma única raiz no intervalo [1, 2]. Aqui, estamos lidando com o estudo de funções e, mais especificamente, analisando onde a função cruza o eixo x (ou seja, onde ). Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e verificar se a função é crescente ou decrescente no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo [1, 2]. Uma função é contínua se não tem saltos ou interrupções nesse intervalo. A nossa função é composta por e , que são contínuas para . Como 1 e 2 são maiores que 0, é contínua em [1, 2].

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de f(1) = 3 raiz1 + ln(1) - 4 = 3 times 1 + 0 - 4 = -1 nos extremos do intervalo para aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Isso nos ajuda a verificar se a função muda de sinal, o que indicaria a existência de pelo menos uma raiz.
Para f(2) = 3 raiz2 + ln(2) - 4 approx 3 times 1,414 + 0,693 - 4 approx 4,242 + 0,693 - 4 approx 0,935 :
Para :

Passo 4

Observamos que e . A função passa de negativo para positivo no intervalo [1, 2]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, isso garante que existe pelo menos um ponto em [1, 2] onde , ou seja, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Para mostrar que essa raiz é única, precisamos verificar se a função f'(x) = ddx ( 3 raizx + ln x - 4 ) = 32 raizx + 1x é estritamente crescente ou decrescente no intervalo. Vamos calcular a derivada de :
Como está no intervalo [1, 2], tanto quanto são positivos. Portanto, para todo em [1, 2], o que indica que é estritamente crescente nesse intervalo.

Passo 6

Como a função é contínua, muda de sinal e é estritamente crescente no intervalo [1, 2], ela só pode cruzar o eixo x uma única vez. Portanto, a função possui exatamente uma raiz nesse intervalo.

Resposta

A função possui uma única raiz no intervalo [1, 2].

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