Em que direção a taxa de variação de no ponto é máxima?
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
A questão pede para encontrarmos a direção em que a função $ f(x, y) = x - y \cdot \sin\left(\pi(x^{2} + y^{2})\right) $ apresenta a taxa de variação máxima no ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente. O gradiente de uma função em um ponto indica a direção em que a função cresce mais rapidamente naquele ponto.
Passo 2
Calculando as Derivadas Parciais
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Avaliando as Derivadas Parciais no Ponto
Agora, substituímos $ x = 0 $ e $ y = 0 $ nas derivadas parciais encontradas:
Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em :
Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em partial fpartial x :
(0, 0)
Passo 4
Determinar o Gradiente no Ponto (0, 0)
O gradiente de $ f $ no ponto f é dado pelo vetor das derivadas parciais avaliadas nesse ponto:
(0, 0)
Passo 5
Determinar a Direção de Taxa de Variação Máxima
A direção de taxa de variação máxima corresponde à direção do gradiente. Como o gradiente em (0, 0) é $ (1, 0) $, a direção é ao longo do eixo $ x $ positivo.
Para expressar isso como um vetor unitário (direção normalizada):
(1, 0)
Resposta
A direção de máxima taxa de variação de $ f $ no ponto f é na direção do vetor $ (1,, 0) $, ou seja, ao longo do eixo $ x $ positivo.