Considere a função
Mostre que
não é uma função de probabilidade para todo
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função discreta
O tema aqui é “função de probabilidade” (ou “função massa de probabilidade” de uma v.a. discreta). Pra ser uma função de probabilidade, precisa satisfazer duas regrinhas:
- todo valor de
tem que ser não-negativo, ou seja, ; - a soma de todos os
deve dar exatamente 1:
Vamos checar cada uma dessas condições e ver se existe algumque faça isso funcionar.
Passo 2
Condição 1: não-negatividade.
Como a parte não-nula de vale
só para
, e todos esses
são positivos, concluímos:
Como a parte não-nula de
Se
Passo 3
Condição 2: soma igual a 1.
A soma total é
A soma total é
Mas
é a famosa série harmônica, que diverge (vai para infinito). Logo:
- Se
, então . - Se
, então .
Não há jeito de ajustar
pra que essa soma dê exatamente 1.
Resposta
Não existe valor real de
que transforme
numa função de probabilidade.