Considere a função
Mostre que p(x)= ll kx, & x=1,2, ldots, 0, & caso contrário não é uma função de probabilidade para todo p.

Passo 1

Então, a gente tem uma função discreta
p(x)= kx,&x=1,2,dots 0,&caso contrário á
O tema aqui é “função de probabilidade” (ou “função massa de probabilidade” de uma v.a. discreta). Pra ser uma função de probabilidade, precisa satisfazer duas regrinhas:
  1. todo valor de p(x) tem que ser não-negativo, ou seja, p(x)>=0;
  2. a soma de todos os p(x) deve dar exatamente 1: sumx=-infty^inftyp(x)=1
    Vamos checar cada uma dessas condições e ver se existe algum kin R que faça isso funcionar.

Passo 2

Condição 1: não-negatividade.
Como a parte não-nula de p(x) vale kx só para x=1,2,dots, e todos esses x são positivos, concluímos:
kx>=0Longrightarrow k>=0
Se k<0, a gente geraria probabilidades negativas, o que não vale.

Passo 3

Condição 2: soma igual a 1.
A soma total é
sumx=1^inftyp(x) =sumx=1^inftykx =ksumx=1^infty1x
Mas sumx=1^infty1x é a famosa série harmônica, que diverge (vai para infinito). Logo:
  • Se k>0, então ksum1x=+inftyneq1.
  • Se k=0, então ksum1x=0neq1.
Não há jeito de ajustar k pra que essa soma dê exatamente 1.

Resposta

Não existe valor real de k que transforme p(x) numa função de probabilidade.

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