Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
Determine a constante p(x)= l k(1-beta)^x-1, para x=1,2,3, ldots 0, caso contrário em função de k.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma variável aleatória discreta X com função de probabilidade
p(x)= k,(1-beta)^x-1, & x=1,2,3,ldots 0,&caso contrário á
Conteúdo da matéria: normalização de uma distribuição de probabilidade e soma de série geométrica.
O que vamos precisar: saber que a soma de todos os p(x) deve dar 1 (condição de pmf) e a fórmula da série geométrica
sumn=0^infty r^n=11-rpara |r|<1

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
sumx=1^inftyp(x)=1 Longrightarrow sumx=1^inftyk,(1-beta)^x-1=1
Aqui a gente só trocou p(x) pela expressão dada.

Passo 3

Fatoramos o k para fora da soma:
k;sumx=1^infty(1-beta)^x-1=1
Agora reconhecemos que sumx=1^infty(1-beta)^x-1 é uma série geométrica com primeiro termo (1-beta)^0=1 e razão r=1-beta. Pela fórmula da série:
sumn=0^infty r^n=11-r,
substituindo r=1-beta (e assumindo |1-beta|<1, ou seja 0, mas para probabilidade geralmente 0), temos
sumx=1^infty(1-beta)^x-1 =11-(1-beta) =1beta

Passo 4

Voltando para a nossa equação com o k:
k;1beta=1 Longrightarrow k = beta

Resposta

boxedk = beta

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