Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
Calcule p(x)= l (12)^x, para x=1,2, ldots 0, caso contrário ( P ser divisivel por 3).

Passo 1

Então, a gente tem uma v.a. discreta p(x)= l(tfrac12r)^x,&x=1,2,dots 0,&caso contrário com
Pl(X é múá
E o que o exercício pede é calcular a probabilidade de “ ser divisível por 3”, ou seja
éú
Conteúdo: distribuição discreta e soma de série geométrica infinita.
O que vamos precisar:
  1. Identificar o evento “ divisível por 3” como , .
  2. Saber usar a soma de uma série geométrica infinita , .

Passo 2

Definindo o evento
A=X é divisível por 3=X=3,6,9,dots=X=3kmid k=1,2,dots éí
A probabilidade que queremos é
P(A)=sumk=1^infty Pl(X=3kr) =sumk=1^infty l(tfrac12r)^3k
Aqui usamos o fato de que a função de probabilidade atribui a cada .

Passo 3

Repare que
sumk=1^infty l(tfrac12r)^3k =sumk=1^infty l((tfrac12)^3r)^k =sumk=1^infty (,tfrac18,)^k
Isto é uma série geométrica de primeiro termo sumk=1^infty r^k =r1-r Longrightarrow sumk=1^infty (,tfrac18,)^k =tfrac181-tfrac18 =tfrac18tfrac78 =17 e razão . Como , temos

Resposta

boxedPl(X é divisível por 3r)=17 éí

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