Seja X uma variável aleatória com função de probabilidade
Calcule p(x)= l (12)^x, para x=1,2, ldots 0, caso contrário .

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta p(x) = l(tfrac12r)^x, & x = 1,2,dots 0, & caso contrário com função de probabilidade
á
E a tarefa é calcular a probabilidade de ser pelo menos 5, ou seja, .
Conteúdo que vamos usar: probabilidade de cauda (tail probability) para variável discreta e a fórmula de soma de série geométrica infinita.

Passo 2

Escrevendo P(X>=5) ;=; sumx=5^infty P(X=x) ;=;sumx=5^infty l(tfrac12r)^x como soma das probabilidades individuais, a gente tem:
Aqui entendemos que cada termo é e estamos somando de até o infinito.

Passo 3

Para resolver essa soma usamos a fórmula da série geométrica infinita:
sumk=0^infty r^k ;=;11-r,para |r|<1
No nosso caso, queremos sumx=5^infty l(tfrac12r)^x =l(tfrac12r)^5 sumn=0^infty l(tfrac12r)^n =l(tfrac12r)^5cdot11-tfrac12 =132cdot 2 =116 . A gente pode fatorar e deixar o resto começando em zero:

Resposta

boxedP(X>=5)=116

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