Considere a função f(x, y)=x^3x^2+y^2. Obtenha a equação geral do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,-1, 12).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a equação geral do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x^3x^2 + y^2 no ponto (1, -1, 12) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente. Se temos uma função z = f(x, y) e queremos o plano tangente no ponto (x0, y0, z0) , a equação do plano é:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui, fx e fy são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente, avaliadas no ponto (x0, y0) .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais fx e fy da função f(x, y) = x^3x^2 + y^2 .
Primeiro, para fx :
Usamos a regra do quociente:
fx = (3x^2)(x^2 + y^2) - x^3(2x)(x^2 + y^2)^2 = 3x^2(x^2 + y^2) - 2x^4(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 3x^2y^2(x^2 + y^2)^2
Agora, para fy :
fy = 0 cdot (x^2 + y^2) - x^3(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2x^3y(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto (1, -1) .
Para fx(1, -1) :
fx(1, -1) = 1^4 + 3 cdot 1^2 cdot (-1)^2(1^2 + (-1)^2)^2 = 1 + 3 cdot 1 cdot 1(1 + 1)^2 = 1 + 34 = 44 = 1
Para fy(1, -1) :
fy(1, -1) = -2 cdot 1^3 cdot (-1)(1^2 + (-1)^2)^2 = 24 = 12

Passo 5

Sabendo que z0 = 12 , fx(1, -1) = 1 e fy(1, -1) = 12 , podemos substituir na equação do plano tangente:
z - 12 = 1 cdot (x - 1) + 12 cdot (y - (-1))
Simplificando:
z - 12 = x - 1 + 12(y + 1)
z = x - 1 + 12y + 12 + 12
z = x + 12y - 1 + 12 + 12
z = x + 12y

Resposta

A equação geral do plano tangente ao gráfico da função no ponto (1, -1, 12) é:
z = x + 12y

Exercícios relacionados