Considere a função
. Obtenha a equação geral do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a equação geral do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a encontrar a inclinação da superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente. Se temos uma função
e queremos o plano tangente no ponto
, a equação do plano é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
da função
.
Primeiro, para
:
Usamos a regra do quociente:
Usamos a regra do quociente:
Agora, para
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Sabendo que
,
e
, podemos substituir na equação do plano tangente:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano tangente ao gráfico da função no ponto
é: