Considere a curva plana dada parametricamente pelas equações x(t)=a sec t e y(t)=b tg t, a, b>0. Obtenha o ponto desta curva que esteja mais próximo da origem. Em seguida, determine a equação da reta tangente à curva no ponto de maior aproximação.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto da curva definida pelas equações paramétricas x(t) = a sec t e y(t) = b tan t que está mais próximo da origem. Depois, vamos determinar a equação da reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e otimização, para minimizar a distância até a origem e encontrar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a distância do ponto (x(t), y(t)) até a origem (0,0) . A fórmula da distância D é:
D = raizx(t)^2 + y(t)^2
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância, D^2 :
D^2 = x(t)^2 + y(t)^2
Substituindo as equações paramétricas na expressão de D^2 :
D^2 = (a sec t)^2 + (b tan t)^2 = a^2 sec^2 t + b^2 tan^2 t

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de t que minimiza D^2 . Para isso, vamos derivar D^2 em relação a t e igualar a derivada a zero:
d(D^2)dt = 2a^2 sec^2 t tan t + 2b^2 tan t sec^2 t
Podemos fatorar:
d(D^2)dt = 2 tan t sec^2 t (a^2 + b^2)

Passo 4

Para encontrar os pontos onde a derivada é zero, resolvemos:
2 tan t sec^2 t (a^2 + b^2) = 0
Como a e b são positivos, temos a^2 + b^2 neq 0 . Portanto, a única solução válida vem de:
tan t = 0
Isso ocorre quando t = 0 .

Passo 5

Vamos verificar o ponto correspondente a t = 0 :
x(0) = a sec 0 = a cdot 1 = a
y(0) = b tan 0 = b cdot 0 = 0
Portanto, o ponto mais próximo da origem é (a, 0) .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto (a, 0) . Para isso, precisamos das derivadas dxdt e dydt :
dxdt = a sec t tan t
dydt = b sec^2 t
No ponto t = 0 :
dxdtg|t=0 = a cdot 1 cdot 0 = 0
dydtg|t=0 = b cdot 1 = b

Passo 7

A inclinação da reta tangente é dada por dydx = dydtdxdt . Porém, percebemos que dxdt = 0 , o que indica que a reta tangente é vertical. Portanto, a equação da reta é simplesmente:
x = a

Resposta

O ponto da curva mais próximo da origem é (a, 0) e a equação da reta tangente nesse ponto é x = a .

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