Considere a curva plana dada parametricamente pelas equações e . Obtenha o ponto desta curva que esteja mais próximo da origem. Em seguida, determine a equação da reta tangente à curva no ponto de maior aproximação.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o ponto da curva definida pelas equações paramétricas e que está mais próximo da origem. Depois, vamos determinar a equação da reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e otimização, para minimizar a distância até a origem e encontrar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a distância do ponto até a origem . A fórmula da distância é:
Para facilitar os cálculos, vamos minimizar o quadrado da distância, :
Substituindo as equações paramétricas na expressão de :
Passo 3
Agora, queremos encontrar o valor de que minimiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Podemos fatorar:
Passo 4
Para encontrar os pontos onde a derivada é zero, resolvemos:
Como e são positivos, temos . Portanto, a única solução válida vem de:
Isso ocorre quando .
Passo 5
Vamos verificar o ponto correspondente a :
Portanto, o ponto mais próximo da origem é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos das derivadas e :
No ponto :
dydtg|t=0 = b cdot 1 = b
Passo 7
A inclinação da reta tangente é dada por dydx = dydtdxdt . Porém, percebemos que dxdt = 0 , o que indica que a reta tangente é vertical. Portanto, a equação da reta é simplesmente:
x = a
Resposta
O ponto da curva mais próximo da origem é (a, 0) e a equação da reta tangente nesse ponto é x = a .