Uma partícula livre movendo-se em uma dimensão possui a função de onda
Psi(x, t)=A[e^i(k x-omega t)-e^i(2 k x-4 omega t)]
onde k e omega são constantes reais positivas. (a) Em t=0, quais são os dois menores valores positivos de x para os quais a função da probabilidade |Psi(x, t)|^2 é um máximo? (b) Repita o item (a) para o tempo t=2 pi / omega. © Calcule v méd é como a distância máxima com que a partícula se moveu dividida pelo tempo decorrido. Compare seu resultado com a expressão é do Exemplo 40.1.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma partícula livre em 1D cuja função de onda é
Psi(x,t)=Al[e^i(kx-omega t)-e^i(2kx-4omega t)r]
com vrm méd=omega2-omega1k2-k1 e .
(a) Em , queremos os dois menores onde a densidade de probabilidade
é máxima.
(b) Repetir para .
© Calcular a “velocidade média” como a distância máxima percorrida dividida pelo tempo, e comparar com
é
do exemplo (aqui ).
Para resolver vamos precisar:
  1. Calcular usando identidade de diferença de fases.
  2. Saber que máximos de ocorrem quando .
  3. Interpretar o movimento dos máximos com o tempo.

Passo 2

Primeiro encontramos Psi(x,t)=Al(e^iphi1-e^iphi2r), phi1=kx-omega t,; phi2=2kx-4omega t . Note que
|Psi|^2 =|A|^2,(e^-iphi1-e^-iphi2),(e^iphi1-e^iphi2) =|A|^2l[2-2cos(phi2-phi1)r]
Então
|Psi(x,t)|^2 =2|A|^2l[1-cosl(kx-3omega tr)r]
Aqui .
Logo

Passo 3

Para achar máximos de 1-cos(De basta fazer
kx-3omega t=(2m+1)pi Longrightarrow x=(2m+1)pi+3omega tk
No nosso caso , logo

Passo 4

(a) Em x=(2m+1)pik :
x1=pik, x2=3pik
Os dois menores vêm de e :

Passo 5

(b) Em x=(2m+1)pi+3omega,(2pi/omega)k =(2m+1)pi+6pik =(2m+7)pik :
m=-3;Rightarrow;x=pi/k, m=-2;Rightarrow;x=3pi/k
Mas como x1=pik, x2=3pik pode ser negativo, os dois menores positivos são
Ou, de modo mais simples, nota-se que o padrão de máximos é o mesmo (periódico) que no item (a), então

Passo 6

© Para ver o quanto o máximo “andou” entre xl(2pi/omegar) =(2cdot0+1)pi+3omega,(2pi/omega)k =pi+6pik =7pik e vrm méd =De, escolha, por exemplo, o máximo de omega2-omega1k2-k1 =4omega-omega2k-k =3omegak, .
Em : .
Em :
Distância percorrida:
.
Tempo .
Logo
é
Comparando com
vemos que é exatamente o mesmo valor.

Resposta

(a)
(b)
© é em perfeita concordância com .

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