Considere uma função de onda da forma
Psi(x, t)=A e^-lambda|x| e^-i omega t
onde A, lambda e omega são constantes positivas.
Normalize Psi.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma função de onda
Psi(x,t)=A,e^-lambda|x|,e^-iomega t
e o objetivo é achar o valor de pra que a probabilidade total seja 1.
Conteúdo: Normalização de função de onda em Mecânica Quântica.
O que precisamos:
- Saber que a densidade de probabilidade é .
- Usar a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a condição de normalização.
Como |Psi(x,t)|^2 = |A|^2,e^-2lambda|x|,|e^-iomega t|^2 = |A|^2,e^-2lambda|x| tem um fator de fase integral-infty^infty|Psi(x,t)|^2,dx = |A|^2integral-infty^infty e^-2lambda|x|,dx = 1 que tem módulo 1, temos

Então a normalização é

Passo 3

Agora a parte prática: calcular
I = integral-infty^infty e^-2lambda|x|,dx
Como a função é simétrica, dividimos em duas metades:
I = integral-infty^0 e^-2lambda(-x),dx + integral0^infty e^-2lambda x,dx
Mas I = integral0^infty e^-2lambda x,dx + integral0^infty e^-2lambda x,dx = 2integral0^infty e^-2lambda x,dx é pra , então cada pedaço fica igual:

Passo 4

A integral básica é
integral0^infty e^-2lambda x,dx = l[-12lambdae^-2lambda xr]0^infty = 12lambda
Logo
I = 2cdot12lambda = 1lambda
Voltando na normalização:
$$|A|^2;I = |A|^2;\frac{1}{\lambda} = 1
\quad\Longrightarrow\quad |A|^2 = \lambda.$$

Resposta

Escolhendo boxedA = raizlambda real e positivo (pode ter fase, mas normalmente a gente põe real), fica

Ou seja, a função de onda normalizada é
$

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