Considere a função de onda independente do tempo, psi=psi(r, theta, phi), para o elétron de um átomo de hidrogênio :
psi=A(1a0)^3 / 2 e^-ra0,
onde a0 é denominado raio de Bohr.
(a) (1,0 ponto) Calcule o valor esperado do raio lang<= rrang<= nesse estado em termos do raio de Bohr e da constante A.
(b) (1,0 ponto) Calcule a constante de normalização A.
© (0,5 ponto) Para esse estado, calcule o módulo do momento angular orbital.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda independente do tempo do elétron no estado fundamental do hidrogênio,
ψ=A\left(1/a_{0}\right){3/2}e{-r/a_{0}}. Vamos usar mecânica quântica: precisamos calcular o valor esperado de r, normalizar ψ e depois achar o módulo do momento angular orbital.

Passo 2

O valor esperado lang<= rrang<= é dado por
lang<= rrang<==integralpsi^*,r,psi,dtau
Em coordenadas esféricas
lang<= rrang<==A^2l(1a0r)^3 4piintegral0^inftyr^3e^-2r/a0,dr
Usando a fórmula
integral0^inftyr^n e^-kr,dr=n!k^n+1,
com n=3 e k=2/a0, temos
integral0^inftyr^3e^-2r/a0dr=3!(2/a0)^4=6l(a02r)^4=3a0^48
Substituindo,
lang<= rrang<==A^2l(1a0r)^3 4pi3a0^48=3pi A^2 a02

Passo 3

Para normalizar ψ impomos
1=integral|psi|^2dtau=A^2l(1a0r)^3 4piintegral0^inftyr^2e^-2r/a0dr
Com n=2 na fórmula anterior,
integral0^inftyr^2e^-2r/a0dr=2!(2/a0)^3=2l(a02r)^3=a0^34
Logo
1=A^2l(1a0r)^3 4pia0^34=A^2pi
e então
A=1raizpi

Passo 4

No estado fundamental do átomo de hidrogênio temos o número quântico azimutal ell=0. O módulo do momento angular orbital é
| L|=raizell(ell+1),hbar=0

Resposta

(a) lang<= rrang<==dfrac3pi A^2 a02
(b) A=1/raizpi
© |L|=0.

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