Considere a função de onda independente do tempo,
, para o elétron de um átomo de hidrogênio :
onde
é denominado raio de Bohr.
(a) (1,0 ponto) Calcule o valor esperado do raio
nesse estado em termos do raio de Bohr e da constante
.
(b) (1,0 ponto) Calcule a constante de normalização
.
© (0,5 ponto) Para esse estado, calcule o módulo do momento angular orbital.
(a) (1,0 ponto) Calcule o valor esperado do raio
(b) (1,0 ponto) Calcule a constante de normalização
© (0,5 ponto) Para esse estado, calcule o módulo do momento angular orbital.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda independente do tempo do elétron no estado fundamental do hidrogênio,
ψ=A\left(1/a_{0}\right){3/2}e{-r/a_{0}}. Vamos usar mecânica quântica: precisamos calcular o valor esperado de r, normalizar ψ e depois achar o módulo do momento angular orbital.
ψ=A\left(1/a_{0}\right){3/2}e{-r/a_{0}}. Vamos usar mecânica quântica: precisamos calcular o valor esperado de r, normalizar ψ e depois achar o módulo do momento angular orbital.
Passo 2
O valor esperado
é dado por
Em coordenadas esféricas
Usando a fórmula
com
e
, temos
Substituindo,
Passo 3
Para normalizar ψ impomos
Com
na fórmula anterior,
Logo
e então
Passo 4
No estado fundamental do átomo de hidrogênio temos o número quântico azimutal
. O módulo do momento angular orbital é
Resposta
(a)
(b)
© .
(b)
©