Considere uma partícula, de massa m, que se encontra em uma caixa unidimensional de largura a e potencial U(x) dado por:
U(x)=l 0, x in[0, a] infty, x notin[0, a]
na qual a função de onda independente do tempo é descrita por:
psin(x)=raiz2a sen(n pia x), n=1,2,3, ldots
(a) (1,0 ponto) Calcule os valores permitidos para a energia En da partícula.
(b) (1,0 ponto) Considerando que a partícula faz uma transição do nível n=3 para o nível n=2, calcule o comprimento de onda do fóton emitido.
© (1,0 ponto) Considerando n=1, calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre x=a / 4 e x=3 a / 4.

Passo 1

Enunciado: partícula de massa m num poço infinito 1D de largura a, com U(x)=0 em [0,a] e U=infty fora. A função de onda é psin(x)=raiz2/a,sin(npi x/a). Precisamos calcular: (a) os níveis de energia En; (b) o comprimento de onda do fóton na transição n=3to2; © a probabilidade de achar a partícula em [a/4,3a/4] para n=1. Vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo, as condições de contorno psi(0)=psi(a)=0 e integrar |psi|^2.

Passo 2

Num poço infinito, a solução da equação de Schrödinger com psi(0)=psi(a)=0 dá níveis quantizados. Aplicando a derivação padrão, obtemos
En=n^2pi^2hbar^22ma^2
Assim já tiramos o resultado para (a).

Passo 3

Para a transição n=3to2, a energia do fóton é
De
Como De, isolamos lambda:
lambda=hcDe

Passo 4

Para ©, calculamos
P=integrala/4^3a/4|psi1(x)|^2dx=2aintegrala/4^3a/4sin^2l(tfracpi xar)dx
Usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2 e integrando, chega-se a
P=pi+22pi

Resposta

(a) En=n^2pi^2hbar^22ma^2
(b) lambda=4ma^2c5pihbar
© P=pi+22pi

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