Considere a funçāo de onda para o primeiro estado excitado ( n=1 ) do oscilador harmônico dada por psi1=A x e^-x^22 L^2, onde L é um comprimento caracteristico. A constante de normalizaçāo, A, para esta função é
A=raiz2pi L^3

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede. Temos a função de onda do primeiro estado excitado do oscilador harmônico unidimensional:
,
onde é constante de comprimento. O problema é encontrar a constante de normalização de modo que
.
Matéria: Mecânica Quântica – normalização de funções de onda. O que vamos precisar:
  1. A condição .
  2. Saber calcular a integral de Gauss com , isto é .

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização:
integral-infty^infty|psi1(x)|^2,dx = 1 Longrightarrow integral-infty^infty l(A,x,e^-x^22L^2r)^2dx = 1
Isso dá
A^2integral-infty^infty x^2,e^-x^2L^2,dx ;=;1

Passo 3

Agora focamos na integral
I = integral-infty^infty x^2,e^-x^2L^2,dx
Para resolver integral-infty^inftye^-a x^2dx = raizpia, , usamos o resultado padrão da integral gaussiana:
válido se .

Passo 4

Para obter J(a) = integral-infty^inftye^-a x^2dx = raizpia , podemos derivar em relação a dJda = -integral-infty^inftyx^2,e^-a x^2dx ;Longrightarrow; integral-infty^inftyx^2e^-a x^2dx = -ddal(raiztfracpiar) = 12,raizpi,a^-tfrac32 . Defina
I = integral-infty^inftyx^2e^-x^2L^2dx = 12,raizpi,l(tfrac1L^2r)^-tfrac32 = 12,raizpi,L^3
Então
No nosso caso . Logo

Passo 5

Voltando à normalização:
A^2,I = 1 Longrightarrow A^2,l(tfrac12raizpi,L^3r) = 1 Longrightarrow A^2 = 2raizpi,L^3
Como A = raiz2raizpi,L^3 = raiz2pi,L^3,raizpi = raiz2pi,L^3 é real e positivo,

Resposta

boxedA = raiz2pi,L^3

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