Considere a função de onda:
onde
e
.
Calcule
para que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço seja 1. Dica: Use
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função de onda que descreve o estado quântico de uma partícula. O conteúdo que vamos usar aqui envolve normalização de funções de onda e integrais envolvendo funções exponenciais. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ |A| $ de forma que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar no espaço seja exatamente 1. Isso garante que a função de onda está devidamente normalizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Em mecânica quântica, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1, representando a certeza de que a partícula está em algum lugar no espaço. Matemáticamente, isso é expresso como:
Passo 3
Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda $ \Psi(x, t) $:
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi(x, t) $. Como nossa função de onda é:
O complexo conjugado será:
Ao multiplicar $ \Psi(x, t) $ por $ \Psi^*(x, t) $:
Note que os termos envolvendo $ e^{-i b t} $ e $ e^{i b t} $ se cancelam, deixando apenas o termo real $ e^{-2a x^{2}} $.
Passo 4
Agora, substituímos $ |\Psi(x, t)|^2 $ na integral de normalização:
Podemos tirar $ |A|^2 $ fora da integral já que é constante:
Passo 5
A integral que temos agora é uma integral de Gauss, que é da forma:
Comparando com a nossa integral, temos $ \beta = 2a $. Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta na equação de normalização:
Agora, isolamos $ |A|^2 $:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ |A| $:
Portanto, o valor de $ |A| $ que normaliza a função de onda é: