Considere a função de onda:
Psi(x, t)=A e^-a x^2 e^-i b t
onde a=raizC m2 hbar e b=12 raizCm.
Calcule |A| para que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço seja 1. Dica: Use integral-infty^infty e^-beta x^2 d x=raizpi / beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função de onda que descreve o estado quântico de uma partícula. O conteúdo que vamos usar aqui envolve normalização de funções de onda e integrais envolvendo funções exponenciais. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ |A| $ de forma que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar no espaço seja exatamente 1. Isso garante que a função de onda está devidamente normalizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. Em mecânica quântica, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1, representando a certeza de que a partícula está em algum lugar no espaço. Matemáticamente, isso é expresso como:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda $ \Psi(x, t) $:
Psi(x, t)
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi(x, t) $. Como nossa função de onda é:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)
O complexo conjugado será:
Psi^*(x, t)
Ao multiplicar $ \Psi(x, t) $ por $ \Psi^*(x, t) $:
Psi(x, t)
Note que os termos envolvendo $ e^{-i b t} $ e $ e^{i b t} $ se cancelam, deixando apenas o termo real $ e^{-2a x^{2}} $.

Passo 4

Agora, substituímos $ |\Psi(x, t)|^2 $ na integral de normalização:
|Psi(x, t)|^2
Podemos tirar $ |A|^2 $ fora da integral já que é constante:
integral-infty^infty |A|^2 e^-2a x^2 dx = 1

Passo 5

A integral que temos agora é uma integral de Gauss, que é da forma:
integral-infty^infty e^-beta x^2 dx = raizpi / beta
Comparando com a nossa integral, temos $ \beta = 2a $. Portanto:
beta = 2a

Passo 6

Substituindo de volta na equação de normalização:
|A|^2 cdot raizpi / (2a) = 1
Agora, isolamos $ |A|^2 $:
|A|^2
Simplificando:
|A|^2 = 1raizpi / (2a)

Passo 7

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ |A| $:
|A|
Portanto, o valor de $ |A| $ que normaliza a função de onda é:

Resposta

|A| = ( 2api )^1/4

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