Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
Psin(x, t)=A e^-i omega t sin (n pi xa), para 0
onde n=1,2,3, ldots identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Calcule omega para que a função acima satisfaça a equação de Schroedinger para uma partícula livre.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula livre, mas restrita a se mover dentro de uma caixa de tamanho a. O objetivo é calcular o valor de omega para que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e fazer algumas derivadas da função de onda apresentada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre em uma dimensão:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2
Aqui, Psi(x, t) é a função de onda, hbar é a constante de Planck reduzida, e m é a massa da partícula.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de Psin(x, t) em relação ao tempo t:
Psin(x, t) = A e^-i omega t sin (n pi xa)
A derivada em relação a t é:
partial Psinpartial t = -i omega A e^-i omega t sin (n pi xa) = -i omega Psin

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de Psin(x, t) em relação a x:
Primeiro, a primeira derivada:
partial Psinpartial x = A e^-i omega t cdot n pia cos (n pi xa)
A segunda derivada:
partial^2 Psinpartial x^2 = -A e^-i omega t cdot (n pia)^2 sin (n pi xa) = -(n pia)^2 Psin

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação de Schrödinger:
ihbar (-i omega Psin) = -hbar^22m (-(n pia)^2 Psin )
Simplificando:
hbar omega Psin = hbar^22m (n pia)^2 Psin

Passo 6

Podemos cancelar Psin dos dois lados da equação:
hbar omega = hbar^22m (n pia)^2
Resolvendo para omega:
omega = hbar2m (n pia)^2

Resposta

O valor de omega que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é:
omega = hbar n^2 pi^22 m a^2

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