Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho
é:
onde
identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Calcule
para que a função acima satisfaça a equação de Schroedinger para uma partícula livre.
Calcule
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula livre, mas restrita a se mover dentro de uma caixa de tamanho
. O objetivo é calcular o valor de
para que essa função de onda satisfaça a equação de Schrödinger para uma partícula livre. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e fazer algumas derivadas da função de onda apresentada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula livre em uma dimensão:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida, e
é a massa da partícula.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
A derivada em relação a
é:
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Primeiro, a primeira derivada:
A segunda derivada:
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 6
Podemos cancelar
dos dois lados da equação:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é: