Considere a seguinte função de onda para uma partícula:
Se quisermos encontrar a partícula no instante
para qual valor de
deveríamos colocar nosso detector para maximizar nossa chance de encontrar a partícula?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de onda para uma partícula:
O que queremos descobrir é em que valor de $ x $ devemos colocar um detector, no instante $ t = 4 $ segundos, para ter a maior chance de encontrar a partícula. Para isso, vamos precisar entender como a probabilidade está relacionada à função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição específica é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda, ou seja:
Isso significa que precisamos calcular $ |\Psi(x, 4)|^2 $.
Passo 3
Vamos substituir $ t = 4 $ na função de onda:
Agora, vamos calcular o módulo ao quadrado dessa expressão para obter a probabilidade:
Passo 4
Queremos maximizar essa probabilidade. Sabemos que o cosseno ao quadrado atinge seu valor máximo quando o cosseno é igual a 1 ou -1. Ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ que maximizam a probabilidade.
Passo 5
A equação $ \cos(2x - 12) = \pm 1 $ ocorre quando o ângulo $ 2x - 12 $ é múltiplo inteiro de $ \pi $:
Vamos resolver para $ x $:
Passo 6
Portanto, os valores de $ x $ onde devemos colocar o detector para maximizar a chance de encontrar a partícula são:
Resposta
Os valores de $ x $ que maximizam a probabilidade são dados por: