Considere a seguinte função de onda para uma partícula:
Se quisermos encontrar a partícula no instante
para qual valor de
deveríamos colocar nosso detector para maximizar nossa chance de encontrar a partícula?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
O que a gente quer descobrir é, no instante
, qual valor de
a gente deve escolher para colocar nosso detector e ter a maior chance de encontrar a partícula. Isso envolve entender um pouquinho de mecânica quântica, especialmente sobre como interpretar a função de onda para achar a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função de onda no instante
. Basta substituir
na expressão original:
Então, a função de onda no tempo
é
.
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
, usamos o quadrado do valor absoluto da função de onda, que é:
Essa expressão,
, nos dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em cada ponto
.
Passo 4
Queremos maximizar essa probabilidade
. Para isso, precisamos achar os valores de
que tornam
o maior possível. Observamos que:
atem sempre valores entre 0 e 1, e atinge seu valor máximo quando
.
Passo 5
Então, resolvemos a equação:
Isso acontece quando o argumento do cosseno,
, é múltiplo de
:
Passo 6
Resolvendo para
, temos:
Portanto, os valores de
que maximizam a probabilidade são todos os múltiplos de
.
Resposta
Para maximizar a chance de encontrar a partícula no instante
, coloque o detector em qualquer posição onde
, onde
é um número inteiro (como
,
,
,
, etc.).