Considere a seguinte função de onda para uma partícula:
Psi(x, t)=1raiz2 cos (2 x-3 t)
Se quisermos encontrar a partícula no instante t=0 para qual valor de x deveríamos colocar nosso detector para maximizar nossa chance de encontrar a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
Psi(x, t)=1raiz2 cos (2 x-3 t)
O que a gente quer descobrir é, no instante t=0, qual valor de x a gente deve escolher para colocar nosso detector e ter a maior chance de encontrar a partícula. Isso envolve entender um pouquinho de mecânica quântica, especialmente sobre como interpretar a função de onda para achar a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa posição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função de onda no instante t=0. Basta substituir t=0 na expressão original:
Psi(x, 0)=1raiz2 cos (2 x)
Então, a função de onda no tempo t=0 é 1raiz2 cos (2 x).

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x, usamos o quadrado do valor absoluto da função de onda, que é:
P(x) = |Psi(x, 0)|^2 = (1raiz2 cos (2 x))^2 = 12 cos^2 (2 x)
Essa expressão, P(x), nos dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em cada ponto x.

Passo 4

Queremos maximizar essa probabilidade P(x). Para isso, precisamos achar os valores de x que tornam P(x) o maior possível. Observamos que:
cos^2 (2 x)
atem sempre valores entre 0 e 1, e atinge seu valor máximo quando cos (2 x) = pm 1.

Passo 5

Então, resolvemos a equação:
cos (2 x) = pm 1
Isso acontece quando o argumento do cosseno, 2x, é múltiplo de pi:
2x = k pi onde k é um inteiro é

Passo 6

Resolvendo para x, temos:
x = k pi2
Portanto, os valores de x que maximizam a probabilidade são todos os múltiplos de pi2.

Resposta

Para maximizar a chance de encontrar a partícula no instante t=0, coloque o detector em qualquer posição onde x = k pi2, onde k é um número inteiro (como 0, pi2, pi, 3pi2, etc.).

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