Considere a função de onda:
Psi(x, t)=A e^-a x^2 e^-i b t
onde a=raizC m2 hbar e b=12 raizCm.
Dado o resultado acima, qual força atua sobre a partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda que descreve uma partícula quântica:
Psi(x, t) = A e^-a x^2 e^-i b t
Aqui, a e b são constantes definidas em termos de outros parâmetros físicos. O conteúdo que vamos usar envolve mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a função de onda com a força que age sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força em mecânica quântica pode ser encontrada a partir do potencial que a partícula está experienciando. A relação entre força ( F) e potencial ( V) é dada por:
F = -dVdx
Então, nosso objetivo é descobrir qual é o potencial V(x) nessa situação.

Passo 3

Para encontrar o potencial, vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo:
ihbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x)Psi
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida e m é a massa da partícula.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda Psi(x, t). Primeiro, a derivada temporal:
partial Psipartial t = A e^-a x^2 cdot (-i b) e^-i b t = -i b Psi
Agora, a primeira derivada espacial:
partial Psipartial x = A cdot (-2a x) e^-a x^2 e^-i b t = -2a x Psi
E a segunda derivada espacial:
partial^2 Psipartial x^2 = partialpartial x (-2a x Psi) = -2a Psi + (-2a x)(-2a x) Psi = (-2a + 4a^2 x^2) Psi

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger:
ihbar (-i b Psi) = -hbar^22m (-2a + 4a^2 x^2) Psi + V(x)Psi
Simplificando o lado esquerdo:
hbar b Psi = (hbar^22m(2a - 4a^2 x^2)) Psi + V(x)Psi

Passo 6

Vamos reorganizar para isolar V(x):
V(x)Psi = hbar b Psi - hbar^22m(2a - 4a^2 x^2)Psi
Dividindo ambos os lados por Psi:
V(x) = hbar b - hbar^22m(2a - 4a^2 x^2)
Simplificando:
V(x) = hbar b - hbar^2m a + 2hbar^2m a^2 x^2

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores de a e b que foram dados:
a = raizC m2 hbar, b = 12 raizCm
Substituindo a na expressão de V(x):
V(x) = hbar cdot 12 raizCm - hbar^2m cdot raizC m2 hbar + 2hbar^2m (raizC m2 hbar)^2 x^2
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
hbar cdot 12 raizCm = hbar2 raizCm
  1. Segundo termo:
hbar^2m cdot raizC m2 hbar = hbar raizC m2m = hbar raizC2 raizm
  1. Terceiro termo:
2hbar^2m cdot C m4 hbar^2 x^2 = 2hbar^2m cdot C m4 hbar^2 x^2 = C2 x^2

Passo 8

Juntando tudo:
V(x) = hbar2 raizCm - hbar raizC2 raizm + C2 x^2
Observamos que os dois primeiros termos se cancelam:
hbar2 raizCm - hbar raizC2 raizm = 0
Então, o potencial simplifica para:
V(x) = C2 x^2

Passo 9

Agora que temos o potencial, podemos encontrar a força usando:
F = -dVdx
Calculando a derivada de V(x):
dVdx = ddx (C2 x^2) = C x
Então, a força é:
F = -C x

Resposta

A força que atua sobre a partícula é F = -C x.

Exercícios relacionados