Considere a função de onda:
onde
e
.
Dado o resultado acima, qual força atua sobre a partícula?
Dado o resultado acima, qual força atua sobre a partícula?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda que descreve uma partícula quântica:
Aqui,
e
são constantes definidas em termos de outros parâmetros físicos. O conteúdo que vamos usar envolve mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar a função de onda com a força que age sobre a partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força em mecânica quântica pode ser encontrada a partir do potencial que a partícula está experienciando. A relação entre força (
) e potencial (
) é dada por:
Então, nosso objetivo é descobrir qual é o potencial
nessa situação.
Passo 3
Para encontrar o potencial, vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a massa da partícula.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias da função de onda
. Primeiro, a derivada temporal:
Agora, a primeira derivada espacial:
E a segunda derivada espacial:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 6
Vamos reorganizar para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores de
e
que foram dados:
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 8
Juntando tudo:
Observamos que os dois primeiros termos se cancelam:
Então, o potencial simplifica para:
Passo 9
Agora que temos o potencial, podemos encontrar a força usando:
Calculando a derivada de
:
Então, a força é:
Resposta
A força que atua sobre a partícula é
.