Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
Psin(x, t)=A e^-i omega t sin (n pi xa), para 0
onde n=1,2,3, ldots identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Se uma partícula é descrita pelo estado Psi1, calcule o valor de A e a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa ( entre x=0 e x=a / 2 ). Esta probabilidade depende do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de onda Psin(x, t) que descreve uma partícula dentro de uma caixa de tamanho a. O número n indica diferentes estados quânticos. A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o valor da constante A garantindo que a função de onda esteja “normalizada” (ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro da caixa seja 1). Depois, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa, entre x=0 e x=a2, e verificar se essa probabilidade depende do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda estar normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é:
integral0^a |Psin(x, t)|^2 dx = 1
Como Psin(x, t) = A e^-i omega t sin(n pi xa), o módulo ao quadrado é:
|Psin(x, t)|^2 = |A|^2 |e^-i omega t|^2 sin^2(n pi xa)
Sabemos que |e^-i omega t|^2 = 1, então:
|Psin(x, t)|^2 = |A|^2 sin^2(n pi xa)

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral para normalizar a função de onda:
|A|^2 integral0^a sin^2(n pi xa) dx = 1
Precisamos resolver a integral integral sin^2(kx) dx, onde k = n pia. Sabemos que:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Aplicando os limites de 0 a a:
integral0^a sin^2(n pi xa) dx = [x2 - sin(2n pi xa)4 cdot n pia]0^a = a2
Portanto:
|A|^2 cdot a2 = 1 implies |A|^2 = 2a implies A = raiz2a

Passo 4

Agora que temos o valor de A, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa, ou seja, entre x = 0 e x = a2. A probabilidade P é dada por:
P = integral0^a2 |Psi1(x, t)|^2 dx
Substituindo |Psi1(x, t)|^2 por 2a sin^2(pi xa):
P = 2a integral0^a2 sin^2(pi xa) dx

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k
onde k = pia. Aplicando os limites 0 a a2:
integral0^a2 sin^2(pi xa) dx = [x2 - sin(2pi xa)4 cdot pia]0^a2 = a4
Então, a probabilidade é:
P = 2a cdot a4 = 12

Passo 6

Por último, vamos verificar se essa probabilidade depende do tempo. Observamos que, durante os cálculos, a variável t não apareceu na expressão final da probabilidade P = 12. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é constante no tempo.

Resposta

A = raizdfrac2a e a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é dfrac12. Essa probabilidade não depende do tempo.

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