Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho é:
onde identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Se uma partícula é descrita pelo estado , calcule o valor de e a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa ( entre e ). Esta probabilidade depende do tempo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve uma partícula dentro de uma caixa de tamanho . O número indica diferentes estados quânticos. A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o valor da constante garantindo que a função de onda esteja “normalizada” (ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula dentro da caixa seja 1). Depois, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa, entre e , e verificar se essa probabilidade depende do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função de onda estar normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é:
Como , o módulo ao quadrado é:
Sabemos que |e^-i omega t|^2 = 1, então:
|Psin(x, t)|^2 = |A|^2 sin^2(n pi xa)
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral para normalizar a função de onda:
|A|^2 integral0^a sin^2(n pi xa) dx = 1
Precisamos resolver a integral integral sin^2(kx) dx, onde k = n pia. Sabemos que:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Aplicando os limites de 0 a a:
integral0^a sin^2(n pi xa) dx = [x2 - sin(2n pi xa)4 cdot n pia]0^a = a2
Agora que temos o valor de A, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa, ou seja, entre x = 0 e x = a2. A probabilidade P é dada por:
Por último, vamos verificar se essa probabilidade depende do tempo. Observamos que, durante os cálculos, a variável t não apareceu na expressão final da probabilidade P = 12. Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é constante no tempo.
Resposta
A = raizdfrac2a e a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é dfrac12. Essa probabilidade não depende do tempo.