Considere a função de onda:
onde
e
.
A função de onda acima não é uma solução da equação de Schroedinger para a partícula livre. Para qual potencial
satisfaz a equação de Schroedinger?
A função de onda acima não é uma solução da equação de Schroedinger para a partícula livre. Para qual potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda dada por:
Onde os parâmetros são definidos por:
A questão nos pede para descobrir qual potencial $ V(x) $ faz essa função de onda satisfazer a equação de Schrödinger. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger dependente do tempo, e fazer alguns cálculos de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ V(x) $ é o potencial que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função de onda em relação ao tempo. Dado que:
A derivada temporal é:
Então, o lado esquerdo da equação de Schrödinger fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ \Psi $ em relação a $ x $. Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, o lado direito da equação de Schrödinger fica:
Simplificando:
Passo 5
Igualando os dois lados da equação de Schrödinger que obtivemos:
Podemos dividir ambos os lados por $ \Psi $ (já que $ \Psi \neq 0 $):
Resolvendo para $ V(x) $:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de $ a $ e $ b $:
Substituindo $ a $:
E para o termo com $ a^{2} $:
Substituindo tudo de volta na expressão de $ V(x) $:
Agora, substituindo $ b $:
Portanto:
Resposta
O potencial que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é: