Considere a função de onda:
Psi(x, t)=A e^-a x^2 e^-i b t
onde a=raizC m2 hbar e b=12 raizCm.
A função de onda acima não é uma solução da equação de Schroedinger para a partícula livre. Para qual potencial (V(x)) Psi satisfaz a equação de Schroedinger?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda dada por:
Psi(x, t) = A e^-a x^2 e^-i b t
Onde os parâmetros são definidos por:
a = raizC m2 hbar e b = 12 raizCm
A questão nos pede para descobrir qual potencial $ V(x) $ faz essa função de onda satisfazer a equação de Schrödinger. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger dependente do tempo, e fazer alguns cálculos de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
i hbar partial Psipartial t = ( - hbar^22 m partial^2partial x^2 + V(x) ) Psi
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, e $ V(x) $ é o potencial que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função de onda em relação ao tempo. Dado que:
Psi(x, t) = A e^-a x^2 e^-i b t
A derivada temporal é:
partial Psipartial t = -i b A e^-a x^2 e^-i b t = -i b Psi
Então, o lado esquerdo da equação de Schrödinger fica:
i hbar partial Psipartial t = i hbar (-i b Psi) = hbar b Psi

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ \Psi $ em relação a $ x $. Primeira derivada:
Psi
Segunda derivada:
x
Então, o lado direito da equação de Schrödinger fica:
partial Psipartial x = -2 a x A e^-a x^2 e^-i b t = -2 a x Psi
Simplificando:
partial^2 Psipartial x^2 = -2 a Psi + (-2 a x)(-2 a x) Psi = (-2 a + 4 a^2 x^2) Psi

Passo 5

Igualando os dois lados da equação de Schrödinger que obtivemos:
hbar b Psi = ( hbar^22 m (2 a - 4 a^2 x^2) + V(x) ) Psi
Podemos dividir ambos os lados por $ \Psi $ (já que $ \Psi \neq 0 $):
Psi
Resolvendo para $ V(x) $:
Psi neq 0
Simplificando mais:
hbar b = hbar^22 m (2 a - 4 a^2 x^2) + V(x)

Passo 6

Agora, substituímos os valores de $ a $ e $ b $:
a
Substituindo $ a $:
b
E para o termo com $ a^{2} $:
a = raizC m2 hbar e b = 12 raizCm
Substituindo tudo de volta na expressão de $ V(x) $:
a
Agora, substituindo $ b $:
hbar^2 am = hbar^2 cdot raizC m2 hbarm = hbar raizC m2 m = hbar raizC2 raizm
Portanto:
a^2

Resposta

O potencial que satisfaz a equação de Schrödinger para a função de onda dada é:
V(x) = C2 x^2

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