Demonstre os resultados abaixo (
são números reais positivos):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o valor absoluto de $ e^{i \omega t} e^{-a x^{2}} $ é igual a $ e^{-a x^{2}} $. A gente vai trabalhar com números complexos e propriedades de módulos. Para resolver, vamos precisar entender como o módulo de um produto de números complexos funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ e^{i \omega t} $ é uma expressão que representa um número complexo na forma exponencial. Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e $ \omega t $ é um ângulo real positivo.
Passo 3
Uma propriedade importante dos números complexos na forma exponencial é que o módulo de $ e^{i \theta} $, onde $ \theta $ é um ângulo real, é sempre 1. Ou seja:
No nosso caso, $ \theta = \omega t $, então:
Passo 4
Agora, vamos olhar para $ e^{-a x^{2}} $. Como $ a $ e $ x $ são números reais positivos, o expoente $ -a x^{2} $ é sempre negativo. Portanto, $ e^{-a x^{2}} $ é um número real positivo. O módulo de um número real positivo é ele mesmo:
Passo 5
Agora, vamos usar a propriedade de que o módulo de um produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos individuais. Ou seja:
Substituindo os valores que já encontramos: