Demonstre os resultados abaixo ( a, omega, k, x, t são números reais positivos):
|e^i omega t e^-a x^2|=e^-a x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o valor absoluto de $ e^{i \omega t} e^{-a x^{2}} $ é igual a $ e^{-a x^{2}} $. A gente vai trabalhar com números complexos e propriedades de módulos. Para resolver, vamos precisar entender como o módulo de um produto de números complexos funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ e^{i \omega t} $ é uma expressão que representa um número complexo na forma exponencial. Aqui, $ i $ é a unidade imaginária, e $ \omega t $ é um ângulo real positivo.

Passo 3

Uma propriedade importante dos números complexos na forma exponencial é que o módulo de $ e^{i \theta} $, onde $ \theta $ é um ângulo real, é sempre 1. Ou seja:
e^i theta
No nosso caso, $ \theta = \omega t $, então:
theta

Passo 4

Agora, vamos olhar para $ e^{-a x^{2}} $. Como $ a $ e $ x $ são números reais positivos, o expoente $ -a x^{2} $ é sempre negativo. Portanto, $ e^{-a x^{2}} $ é um número real positivo. O módulo de um número real positivo é ele mesmo:
e^-a x^2

Passo 5

Agora, vamos usar a propriedade de que o módulo de um produto de dois números complexos é igual ao produto dos módulos individuais. Ou seja:
| e^i omega t e^-a x^2 | = | e^i omega t | cdot | e^-a x^2 |
Substituindo os valores que já encontramos:
| e^i omega t e^-a x^2 | = 1 cdot e^-a x^2 = e^-a x^2

Resposta

| e^i omega t e^-a x^2 | = e^-a x^2

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