\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a / 2 \\\ A(a-x), & a / 2 \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { Caso contrário. }\end{cases}
(a) Normalize a função de onda.
(b) Encontre o valor médio da posição \langle x\rangle.
(c) Encontre o valor médio do momento \langle p\rangle.
(d) Encontre \left\langle x^{2}\right\rangle.
(e) Verifique a validade do princípio da incerteza nesse sistema.
(e) Encontre \left\langle p^{2}\right\rangle.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes elementos diretamente do enunciado.
A função de onda é
\psi(x)= \begin{cases}A x, & 0 \leq x \leq a/2,\\[4pt] A(a-x), & a/2 \leq x \leq a,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
O parâmetro A é uma constante de normalização a ser determinada e a>0 é uma constante do problema.
O enunciado pede, em ordem:
(a) normalizar a função de onda (achar A);
(b) calcular \langle x\rangle;
(c) calcular \langle p\rangle;
(d) calcular \langle x^2\rangle;
(e) verificar o princípio da incerteza neste sistema (isto envolve \Delta x e \Delta p);
(e) (último item pedido) calcular \langle p^2\rangle.
Observações iniciais importantes que vou usar depois (não resolvo nada aqui, só registro):
As integrais relevantes serão tomadas no intervalo [0,a] porque \psi(x)=0 fora desse intervalo.
A função é real e tem uma forma triangular simétrica em torno de x=a/2 (valor máximo em x=a/2).
As definições que vou usar: \langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\psi(x)|^2\,dx, \langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x)\,dx, \langle p^2\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\left(-\hbar^2\frac{d^2}{dx^2}\right)\psi(x)\,dx. Para função real e com comportamento adequado nas fronteiras, vale também \langle p^2\rangle=\hbar^2\int_{-\infty}^{\infty}\big(\psi'(x)\big)^2 dx.]
Passo 2
Normalização: explico o conceito e aplico passo a passo.
Conceito: a função de onda deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1,
ou seja, a probabilidade total é 1.
Aplicação ao nosso caso: \psi(x) é não nula só em 0\le x\le a, então
Escolhemos A real e positivo (pode ter sinal, mas a normalização define o módulo), então
A = \sqrt{\frac{12}{a^3}} = \frac{2\sqrt{3}}{a^{3/2}}.
Passo 3
Cálculo de \langle x\rangle. Vou explicar a ideia e calcular detalhadamente.
Ideia: \langle x\rangle=\int x|\psi|^2 dx. Como a densidade de probabilidade |\psi(x)|^2 é simétrica em torno de x=a/2 (triângulo simétrico), espera-se \langle x\rangle=a/2. Vou mostrar isso por cálculo para ficar convincente.
\langle p^2\rangle = \hbar^2\cdot \frac{12}{a^3}\cdot a = \frac{12\hbar^2}{a^2}.
Como \langle p\rangle=0, a variância é (\Delta p)^2=\langle p^2\rangle, então
\Delta p = \sqrt{\langle p^2\rangle} = \sqrt{\frac{12\hbar^2}{a^2}} = \frac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a}.]
Passo 7
Verificação do princípio da incerteza: comparar \Delta x\,\Delta p com \hbar/2.
Já temos
\Delta x = \frac{a}{2\sqrt{10}},\qquad \Delta p = \frac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a}.
Multiplicando:
\Delta x\,\Delta p = \frac{a}{2\sqrt{10}}\cdot\frac{2\sqrt{3}\,\hbar}{a} = \hbar\sqrt{\frac{3}{10}}.
Avaliando numericamente \sqrt{3/10}\approx 0{,}5477, então
\Delta x\,\Delta p \approx 0{,}5477\,\hbar > \frac{\hbar}{2}=0{,}5\,\hbar.
Conclusão: o princípio da incerteza de Heisenberg
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
está satisfeito (estritamente satisfeito, não saturado). Comentário físico: igualdade só ocorre para estados gaussianos mínimos; nosso estado triangular não é gaussiano, por isso a desigualdade é estrita.