3- Um próton e uma bala de revolver de 10 g se movem com velocidade de 500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Há uma imprecisão na velocidade de 0,01 \%. Se as posições dos dois objetos são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades, qual é a melhor precisão possível das medidas de posição em cada um dos casos, segundo o princípio de incerteza? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
  • Dois objetos movem-se com velocidade \,500\\ \mathrm{m/s}.
  • A imprecisão relativa na velocidade é de 0,01\%.
  • Um dos objetos é um próton. Como massa do próton usarei \,m_p=1{,}6726\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (valor padrão).
  • O outro objeto é uma bala de revolver com massa \,10\\ \mathrm{g}=0{,}01\\ \mathrm{kg}.
  • Pergunta: se as posições são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades (com a incerteza dada), qual é a melhor precisão possível das medidas de posição em cada caso segundo o princípio de incerteza?

Passo 2

Qual princípio vamos usar e qual fórmula? Vou explicar passo a passo o que é o princípio de incerteza e as fórmulas.
O princípio de incerteza de Heisenberg diz que não é possível conhecer com precisão arbitrária a posição e o momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula ao mesmo tempo. Em forma matemática usual usamos a desigualdade
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta x é a incerteza na posição (o que queremos estimar);
  • \Delta p é a incerteza no momento linear (momentum);
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar=\dfrac{h}{2\pi}, com h\approx6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e portanto \hbar\approx1{,}0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Explicando em linguagem simples: se a incerteza no momentum aumenta, a incerteza mínima permitida para a posição diminui e vice‑versa. Para estimar a menor \Delta x compatível com a incerteza em velocidade basta calcular \Delta p (a partir de \Delta v) e usar a desigualdade, tomando a igualdade aproximada para a “melhor precisão possível”:
\Delta x_{\min}\approx\frac{\hbar}{2\,\Delta p}.

Passo 3

Como obtém-se \Delta v a partir da imprecisão relativa? Explico e calculo.
A velocidade dada é 500\\ \mathrm{m/s} e a imprecisão relativa é 0{,}01\% = 0{,}0001 (forma decimal). Portanto a incerteza absoluta na velocidade é
\Delta v = 500\times0{,}0001 = 0{,}05\\ \mathrm{m/s}.
Isto vale para ambos os corpos (o enunciado deu a mesma imprecisão relativa para os dois).

Passo 4

Como relacionar \Delta v com \Delta p? Explico a aproximação usada.
O momentum clássico é \,p=m v. Quando a massa é conhecida com muito mais precisão do que a velocidade, a incerteza no momentum pode ser aproximada por
\Delta p \approx m\,\Delta v,
porque a incerteza relativa dominante vem de \Delta v. Aqui essa aproximação é perfeitamente adequada: as massas (do próton e da bala) são bem conhecidas e v é muito menor que c (portanto regime não relativístico).
Vou calcular \Delta p para cada caso.
Próton:
\Delta p_p \approx m_p\,\Delta v = \left(1{,}6726\times10^{-27}\right)\times 0{,}05 =8{,}363\times10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Bala (massa 0{,}01\\ \mathrm{kg}):
\Delta p_b \approx m_b\,\Delta v = 0{,}01\times 0{,}05 =5{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Agora uso a desigualdade de Heisenberg para estimar a menor \Delta x compatível com essas \Delta p. Vou tomar a igualdade aproximada \Delta x_{\min}\approx\hbar/(2\Delta p) para obter a “melhor precisão possível”.
Lembrando \hbar\approx1{,}0545718\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Para o próton:
\Delta x_{p,\min}\approx\frac{\hbar}{2\,\Delta p_p} =\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{2\times 8{,}363\times10^{-29}} =\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{1{,}6726\times10^{-28}} \approx6{,}31\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Para a bala:
\Delta x_{b,\min}\approx\frac{\hbar}{2\,\Delta p_b} =\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{2\times 5{,}0\times10^{-4}} =\frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{1{,}0\times10^{-3}} \approx1{,}05\times10^{-31}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação física e justificativas adicionais (explicando por que os valores diferem tanto):
  • A incerteza mínima de posição para o próton é da ordem de 10^{-7}\\ \mathrm{m} (fração de micrômetro). Isso é grande comparado a escalas atômicas? Na verdade é algumas centenas de vezes maior que o raio atômico ( \sim10^{-10}\\ \mathrm{m}), indicando que, com a imprecisão de velocidade dada, a posição do próton fica relativamente pouco determinada segundo o princípio de incerteza. A razão é que o próton tem massa muito pequena, logo uma pequena incerteza de velocidade gera uma incerteza muito pequena em \Delta p, e isso, pela relação inversa, dá uma \Delta x grande.
  • Para a bala macroscópica a \Delta x_{\min} obtida é absurdamente pequena ( \sim10^{-31}\\ \mathrm{m}), muito menor que qualquer comprimento físico acessível (por exemplo tamanhos nucleares são \sim10^{-15}\\ \mathrm{m}). Isso mostra que, para objetos macroscópicos pesados, os efeitos quânticos do princípio de incerteza tornam-se totalmente irrelevantes na prática: mesmo uma incerteza de velocidade de 0{,}01\% permite uma precisão de posição praticamente perfeita em escala macroscópica.
  • Usei aproximação não relativística ( p=mv) porque v=500\\ \mathrm{m/s}\ll c; isso é válido.
  • Tomei a igualdade em \Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2 para estimar a “melhor precisão possível” (limite inferior). Na prática a incerteza real pode ser maior, mas não pode ser menor que esse valor.

Resposta

Próton: \;6{,}31\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\n
Bala (10 g): \;1{,}05\times10^{-31}\\ \mathrm{m}

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