3- Um próton e uma bala de revolver de 10 g se movem com velocidade de
. Há uma imprecisão na velocidade de
. Se as posições dos dois objetos são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades, qual é a melhor precisão possível das medidas de posição em cada um dos casos, segundo o princípio de incerteza? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que peguei do enunciado).
- Dois objetos movem-se com velocidade
. - A imprecisão relativa na velocidade é de
. - Um dos objetos é um próton. Como massa do próton usarei
(valor padrão). - O outro objeto é uma bala de revolver com massa
. - Pergunta: se as posições são medidas ao mesmo tempo que as respectivas velocidades (com a incerteza dada), qual é a melhor precisão possível das medidas de posição em cada caso segundo o princípio de incerteza?
Passo 2
Qual princípio vamos usar e qual fórmula? Vou explicar passo a passo o que é o princípio de incerteza e as fórmulas.
O princípio de incerteza de Heisenberg diz que não é possível conhecer com precisão arbitrária a posição e o momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula ao mesmo tempo. Em forma matemática usual usamos a desigualdade
onde:
-
é a incerteza na posição (o que queremos estimar); -
é a incerteza no momento linear (momentum); -
é a constante de Planck reduzida, , com e portanto .
Explicando em linguagem simples: se a incerteza no momentum aumenta, a incerteza mínima permitida para a posição diminui e vice‑versa. Para estimar a menor
compatível com a incerteza em velocidade basta calcular
(a partir de
) e usar a desigualdade, tomando a igualdade aproximada para a “melhor precisão possível”:
Passo 3
Como obtém-se
a partir da imprecisão relativa? Explico e calculo.
A velocidade dada é
e a imprecisão relativa é
(forma decimal). Portanto a incerteza absoluta na velocidade é
Isto vale para ambos os corpos (o enunciado deu a mesma imprecisão relativa para os dois).
Passo 4
Como relacionar
com
? Explico a aproximação usada.
O momentum clássico é
. Quando a massa é conhecida com muito mais precisão do que a velocidade, a incerteza no momentum pode ser aproximada por
porque a incerteza relativa dominante vem de
. Aqui essa aproximação é perfeitamente adequada: as massas (do próton e da bala) são bem conhecidas e
é muito menor que
(portanto regime não relativístico).
Vou calcular
para cada caso.
Próton:
Bala (massa
):
Passo 5
Agora uso a desigualdade de Heisenberg para estimar a menor
compatível com essas
. Vou tomar a igualdade aproximada
para obter a “melhor precisão possível”.
Lembrando
.
Para o próton:
Para a bala:
Passo 6
Interpretação física e justificativas adicionais (explicando por que os valores diferem tanto):
- A incerteza mínima de posição para o próton é da ordem de
(fração de micrômetro). Isso é grande comparado a escalas atômicas? Na verdade é algumas centenas de vezes maior que o raio atômico ( ), indicando que, com a imprecisão de velocidade dada, a posição do próton fica relativamente pouco determinada segundo o princípio de incerteza. A razão é que o próton tem massa muito pequena, logo uma pequena incerteza de velocidade gera uma incerteza muito pequena em , e isso, pela relação inversa, dá uma grande. - Para a bala macroscópica a
obtida é absurdamente pequena ( ), muito menor que qualquer comprimento físico acessível (por exemplo tamanhos nucleares são ). Isso mostra que, para objetos macroscópicos pesados, os efeitos quânticos do princípio de incerteza tornam-se totalmente irrelevantes na prática: mesmo uma incerteza de velocidade de permite uma precisão de posição praticamente perfeita em escala macroscópica. - Usei aproximação não relativística (
) porque ; isso é válido. - Tomei a igualdade em
para estimar a “melhor precisão possível” (limite inferior). Na prática a incerteza real pode ser maior, mas não pode ser menor que esse valor.
Resposta
Próton:
\n
Bala (10 g):
Bala (10 g):