6- Considere um sistema quântico cuja solução da equação de Shrodinger é
\psi(x)= \begin{cases}A\left(x^{2}-a^{2}\right), & 0 \leq x \leq a \\\\ 0, & \text { Caso contrário. }\end{cases}
(a) Normalize a função de onda, sabendo que A pode ser escrito como A=\alpha+i \beta, com \beta=2 \alpha.
(b) Calcule \langle x\rangle.
(c) Calcule \langle p\rangle.
(d) Calcule \left\langle x^{2}\right\rangle.
(e) Calcule \left\langle p^{2}\right\rangle.
(f) Verifique a validade do princípio da incerteza nesse sistema.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda (peguei exatamente do enunciado):
\psi(x)= \begin{cases}A\left(x^{2}-a^{2}\right), & 0 \leq x \leq a \\[4pt] 0, & \text{Caso contrário.}\end{cases}á
e diz que A=\alpha+i\beta com \beta=2\alpha (logo A=\alpha(1+2i)).
As perguntas são:
(a) Normalizar a função de onda, ou seja encontrar A (usar a relação entre \alpha e \beta fornecida).
(b) Calcular \langle x\rangle.
(c) Calcular \langle p\rangle.
(d) Calcular \langle x^{2}\rangle.
(e) Calcular \langle p^{2}\rangle.
(f) Verificar se o princípio da incerteza é satisfeito (isto é, comparar \Delta x\,\Delta p com \hbar/2).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função está restrita ao intervalo [0,a]; fora disso vale zero (ou seja \psi(x)=0 para x<0 e x>a).
A é complexo, com A=\alpha(1+2i).
Para calcular esperanças em espaço de posição usarei as fórmulas padrão:\langle x^n\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\,x^n\,\psi(x)\,dx,
Observação importante (vou tratar com calma nos passos seguintes): a função definida assim é nula fora de [0,a] e, pelo enunciado, tem valor em x=0 igual a A(0^2-a^2)=-A a^{2}, portanto há uma descontinuidade potencial entre o valor dentro do intervalo em x=0 e o valor fora (que é zero). Isso afeta operadores que envolvem derivadas (como p e p^{2}). Vou fazer os cálculos “diretos” e depois discutir esse ponto e suas consequências para a validade do cálculo e para o princípio da incerteza.]
Passo 2
Normalização: regra e cálculo da constante A.
A condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=1.
Como \psi(x) é não nula apenas em 0\le x\le a, isso vira
Pequeno intervalo motivador (para fixar a intuição): o resultado diz que o centro de massa da densidade |\psi|^{2} no intervalo [0,a] fica em 5a/16, que é menor que a/2 — faz sentido porque (x^{2}-a^{2})^{2} pesa mais próximo de x=0 do que de x=a.
No interior 0<x<a temos \psi(x)=A f(x) com f(x)=x^{2}-a^{2} real. Logo \psi^{*}=A^{*}f e \dfrac{d\psi}{dx}=A f'(x) com f'(x)=2x. Substituindo a integranda:
\psi^{*}\frac{d\psi}{dx}-\frac{d\psi^{*}}{dx}\psi = A^{*}f\cdot A f' - (A^{*} f')\cdot A f = |A|^{2}(f f' - f' f)=0
em todo ponto interior 0<x<a. Fora do intervalo \psi=0 então a integranda também é zero. Logo a integral é zero e
\langle p\rangle=0.
Observação didática: esta forma simétrica mostra que se a parte espacial da função de onda é real (até uma constante complexa global), a contribuição local para \langle p\rangle se cancela ponto a ponto, dando zero. Isso é uma forma rápida de ver por que estados proporcionais a uma função real têm momento médio nulo.
quando os termos de fronteira resultantes de integração por partes se anulam. Vamos aplicar isso assumindo momentaneamente que os únicos termos relevantes vêm do interior do intervalo (ver aviso sobre descontinuidades depois). No interior:
\Delta x\,\Delta p =\frac{9a}{16\sqrt{7}}\cdot\hbar\sqrt{\frac{5}{2}}\frac{1}{a} =\hbar\cdot\frac{9}{16}\sqrt{\frac{5}{14}}.
Valor numérico aproximado:
\Delta x\,\Delta p \approx 0{,}336\,\hbar.
Compare com \hbar/2\approx 0{,}5\,\hbar. O produto calculado diretamente acima é menor que \hbar/2. Isso cria um aparente conflito com a desigualdade de Heisenberg \Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2.
Passo 8
Resolução do aparente conflito (discussão física e matemática importante).
Por que apareceu esse conflito? A desigualdade de Robertson (que dá a forma \Delta x\,\Delta p\ge\frac{1}{2}|\langle[x,p]\rangle|=\hbar/2) exige que os operadores x e p sejam definidos em estados do domínio apropriado, e que as integrais usadas para calcular \langle p\rangle e \langle p^{2}\rangle sejam bem definidas e tratem corretamente quaisquer contribuições de superfície. No nosso caso a função de onda, conforme dada, é igual a A(x^{2}-a^{2}) para 0\le x\le a e igual a zero fora. Isso provoca, em x=0, uma descontinuidade na função (valor dentro em x=0 é -A a^{2}, valor fora é 0). Uma descontinuidade da função de onda (ou das suas derivadas) em um ponto gera termos de distribuição (delta) nas derivadas e pode tornar \langle p^{2}\rangle ilimitado ou, no mínimo, diferente do valor obtido apenas integrando a parte interior.
No cálculo direto de \langle p^{2}\rangle que fizemos no Passo 6 nós ignoramos essas contribuições de superfície/distribuição — assumimos implicitamente que \psi é suficientemente suave e que as derivadas não têm termos singulares nas bordas. Com a descontinuidade em x=0, isso não é garantido. Uma análise completa do termo distribuicional mostra que aparecem termos envolvendo \delta(x) e suas derivadas na expressão para as derivadas de \psi, e esses termos normalmente aumentam (às vezes até divergem) o valor de \langle p^{2}\rangle. Portanto o valor \langle p^{2}\rangle=5\hbar^{2}/(2a^{2}) é o valor “na parte interior” (ignorando singularidades nas fronteiras) e pode não ser o valor físico correto quando a descontinuidade é levada em conta.
Conclusão sobre o princípio da incerteza: o aparente violação vem de ter ignorado as contribuições de fronteira geradas pela descontinuidade. O resultado fisicamente correto (tratando corretamente as distribuições ou exigindo que a função de onda pertença ao domínio autoadjunto de p) não viola o princípio de incerteza. Em muitos casos a presença de descontinuidades faz com que \langle p^{2}\rangle seja ainda maior (possivelmente divergente), e então \Delta x\,\Delta p\ge \hbar/2 é satisfeita. Portanto, rigorosamente, o princípio da incerteza é válido; o cálculo que levou a \Delta x\,\Delta p\approx 0{,}336\hbar não é concluyente porque descartou termos de fronteira essenciais.
Se o objetivo do exercício for apenas manipular integrais no interior de [0,a] e ignorar subtilezas de domínio, então o conjunto de resultados diretos é o que calculámos; mas se o exercício for fisicamente rigoroso, deve-se exigir continuidade apropriada em x=0 (ou trabalhar em todo o eixo com suporte contínuo), caso em que a análise das derivadas e da incerteza deve ser feita com cuidado e a desigualdade de Heisenberg permanece verdadeira.
Força aí — a parte de contornar esse tipo de paradoxo é chata no começo, mas é exatamente onde a física matemática fica interessante!
(e) (cálculo direto, ignorando contribuições distribuicionais de fronteira) \displaystyle\langle p^{2}\rangle=\frac{5\hbar^{2}}{2a^{2}}.
(f) O princípio da incerteza vale. O cálculo direto com o valor de (e) leva a \Delta x\,\Delta p\approx 0{,}336\,\hbar<\hbar/2, indicando uma contradição aparente; essa contradição surge porque a função de onda dada é descontínua em x=0 (valor fora é zero e dentro é -A a^{2}), o que gera termos de distribuição nas derivadas e invalida o cálculo direto de \langle p^{2}\rangle. Tratando corretamente essas contribuições (ou exigindo condições de continuidade/domínio adequadas para \psi), o lado direito aumenta e a desigualdade \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2 é satisfeita.