Considere a função de onda psi(x)=A e^-x^2 / 2 sigma^2. Determine a constante A que normaliza esta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função de onda
psi(x)=A,e^-x^2/(2sigma^2)
e a gente precisa achar a constante que deixa essa função “normalizada”, ou seja, faz
.
O conteúdo é Sobre normalização de funções de onda (mecânica quântica) e cálculo de integrais gaussianas. Vamos usar a condição de normalização e a famosa integral gaussiana.

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização:
1 ;=; integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx ;=; integral-infty^inftyA^2,e^-x^2/sigma^2,dx
Repare que ao quadrado vira .

Passo 3

Precisamos usar a integral gaussiana básica:
integral-infty^infty e^-alpha x^2,dx ;=;raizpialpha (alpha>0)
No nosso caso, , porque .

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa integral:
integral-infty^infty e^-x^2/sigma^2,dx =raizpi1/sigma^2 =raizpi,sigma^2 =sigmaraizpi

Passo 5

Substituindo de volta na normalização:
1 = A^2,l(sigmaraizpir) Longrightarrow A^2 = 1sigmaraizpi Longrightarrow A = 1raizsigmaraizpi
Normalmente a gente escolhe , então pegamos a raiz positiva.

Resposta

A = 1(pi)^1/4,raizsigma

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