Explique a relação entre operadores hermitianos e valores esperados de observáveis físicos.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Explique a relação entre operadores hermitianos e valores esperados de observáveis físicos.”
Isso é Mecânica Quântica básica. Para resolver a gente vai precisar saber o que é um operador num espaço de estados (Hilbert), o que significa ele ser hermitiano e como se calcula valor esperado de uma grandeza.

Passo 2

Primeiro, operador em QM é uma “coisa” que age em vetores-estado |ψ⟩ e dá outro vetor. Um operador Ĥ é hermitiano quando ele satisfaz
lang<= φ|hat H ψrang<= ;=;lang<= hat H φ | ψrang<=
ou de forma compacta
hat H = hat H^dag>=r
Isso garante que todos os autovalores (valores que vêm da equação ) são números reais.

Passo 3

Agora, o valor esperado de um observável lang<= Arang<= ;=;lang<= ψ|hat A|ψrang<= num estado lang<= Arang<=^* ;=;l(lang<= ψ|hat A|ψrang<=r)^* =;lang<= ψ|hat A^dag>=r|ψrang<= =;lang<= ψ|hat A|ψrang<= =;lang<= Arang<= é tipo a média ponderada dos resultados possíveis. É dado por
Para ver por que isso é real se é hermitiano, olha:
Ou seja, a complexa conjugada é a própria quantidade, então ela é real.

Passo 4

Por que isso importa? Em experimento, quando você mede uma observável (posição, energia etc.), você sempre obtém um número real. Para garantir isso na teoria, associamos cada observável a um operador hermitiano. A realimentação entre “operador hermitiano → autovalores reais” e “valor esperado real” junta tudo e faz sentido físico.

Resposta

Operadores hermitianos são aqueles que satisfazem , o que garante autovalores reais. O valor esperado de um observável é , e só porque é hermitiano essa média sai real, fechando o laço entre teoria e resultados físicos.

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