Explique a relação entre operadores hermitianos e valores esperados de observáveis físicos.
Passo 1
Beleza, a questão é: “Explique a relação entre operadores hermitianos e valores esperados de observáveis físicos.”
Isso é Mecânica Quântica básica. Para resolver a gente vai precisar saber o que é um operador num espaço de estados (Hilbert), o que significa ele ser hermitiano e como se calcula valor esperado de uma grandeza.
Isso é Mecânica Quântica básica. Para resolver a gente vai precisar saber o que é um operador num espaço de estados (Hilbert), o que significa ele ser hermitiano e como se calcula valor esperado de uma grandeza.
Passo 2
Primeiro, operador em QM é uma “coisa” que age em vetores-estado |ψ⟩ e dá outro vetor. Um operador Ĥ é hermitiano quando ele satisfaz
ou de forma compacta
Isso garante que todos os autovalores (valores que vêm da equação
) são números reais.
Passo 3
Agora, o valor esperado de um observável
num estado
é tipo a média ponderada dos resultados possíveis. É dado por
Para ver por que isso é real se
é hermitiano, olha:
Ou seja, a complexa conjugada é a própria quantidade, então ela é real.
Passo 4
Por que isso importa? Em experimento, quando você mede uma observável (posição, energia etc.), você sempre obtém um número real. Para garantir isso na teoria, associamos cada observável a um operador hermitiano. A realimentação entre “operador hermitiano → autovalores reais” e “valor esperado real” junta tudo e faz sentido físico.
Resposta
Operadores hermitianos são aqueles que satisfazem
, o que garante autovalores reais. O valor esperado de um observável é
, e só porque
é hermitiano essa média sai real, fechando o laço entre teoria e resultados físicos.