Considere uma função de onda unidimensional que é descrita por
no intervalo
e nula para qualquer outro valor de x . Para o caso em que temos os valores
e
, qual é a constante de normalização (A) desta função de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.
Observação: A constante de normalização A é adimensional.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função de onda unidimensional dada por $ \psi(x) = A \sqrt{\alpha - \beta x^{2}} $ no intervalo $ -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \leq x \leq \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} $ e zero fora desse intervalo. O objetivo é encontrar a constante de normalização $ A $ para os valores $ \alpha = 4,4 $ e $ \beta = 19,9 , \mathrm{m}^{-2} $. Para isso, vamos utilizar o conceito de normalização de funções de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja igual a 1.
Passo 2
A normalização de uma função de onda $ \psi(x) $ requer que a integral do quadrado do módulo da função sobre todo o espaço seja igual a 1. Ou seja:
Como $ \psi(x) = 0 $ fora do intervalo $ -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \leq x \leq \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} $, a integral se reduz a esse intervalo:
Passo 3
Substituindo $ \psi(x) $ na integral:
Simplificando o integrando:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 6
Substituindo as integrais de volta na equação original:
Fatorando $ 2\alpha^{\frac{3}{2}}/\sqrt{\beta} $:
Passo 7
Resolvendo para $ A $:
Passo 8
Agora, vamos substituir os valores de $ \alpha = 4,4 $ e $ \beta = 19,9 , \mathrm{m}^{-2} $:
Calculando cada parte:
- $ (19,9)^{\frac{1}{4}} \approx 2,113 $
- $ (4,4)^{\frac{3}{4}} \approx 3,040 $
Substituindo:
Resposta
A constante de normalização $ A $ é aproximadamente 0,602.