Considere uma função de onda unidimensional que é descrita por psi(x)=A raizalpha-beta x^2 no intervalo -raizalphabeta <= x <=+raizalphabeta e nula para qualquer outro valor de x . Para o caso em que temos os valores alpha=4,4 e beta=19,9 m^-2, qual é a constante de normalização (A) desta função de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função de onda unidimensional dada por $ \psi(x) = A \sqrt{\alpha - \beta x^{2}} $ no intervalo $ -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \leq x \leq \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} $ e zero fora desse intervalo. O objetivo é encontrar a constante de normalização $ A $ para os valores $ \alpha = 4,4 $ e $ \beta = 19,9 , \mathrm{m}^{-2} $. Para isso, vamos utilizar o conceito de normalização de funções de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja igual a 1.

Passo 2

A normalização de uma função de onda $ \psi(x) $ requer que a integral do quadrado do módulo da função sobre todo o espaço seja igual a 1. Ou seja:
psi(x)
Como $ \psi(x) = 0 $ fora do intervalo $ -\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} \leq x \leq \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} $, a integral se reduz a esse intervalo:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1

Passo 3

Substituindo $ \psi(x) $ na integral:
psi(x)
Simplificando o integrando:
integral-raizalphabeta^+raizalphabeta ( A raizalpha - beta x^2 )^2 , dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral-raizalphabeta^+raizalphabeta (alpha - beta x^2) , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
alpha integral-raizalphabeta^+raizalphabeta dx - beta integral-raizalphabeta^+raizalphabeta x^2 , dx

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
alpha [ x ]-raizalphabeta^+raizalphabeta = alpha ( raizalphabeta - (-raizalphabeta) ) = 2alpha raizalphabeta
  1. Segunda integral:
beta [ x^33 ]-raizalphabeta^+raizalphabeta = beta ( (raizalphabeta)^33 - (-raizalphabeta)^33 ) = beta cdot 2(alphabeta)^323 = 2alpha^323raizbeta

Passo 6

Substituindo as integrais de volta na equação original:
A^2 ( 2alpha raizalphabeta - 2alpha^323raizbeta ) = 1
Fatorando $ 2\alpha^{\frac{3}{2}}/\sqrt{\beta} $:
2alpha^32/raizbeta

Passo 7

Resolvendo para $ A $:
A
A^2 = 3raizbeta4alpha^32

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores de $ \alpha = 4,4 $ e $ \beta = 19,9 , \mathrm{m}^{-2} $:
alpha = 4,4
Calculando cada parte:
  1. $ (19,9)^{\frac{1}{4}} \approx 2,113 $
  2. $ (4,4)^{\frac{3}{4}} \approx 3,040 $
Substituindo:
beta = 19,9 , m^-2

Resposta

A constante de normalização $ A $ é aproximadamente 0,602.

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