Encontre a velocidade
em função do deslocamento
de uma partícula de massa
que parte do repouso em
sujeita às seguintes forças:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade $ v $ de uma partícula em função do deslocamento $ x $. A situação é a seguinte: uma partícula de massa $ m $ parte do repouso em $ x = 0 $ e está sujeita a uma força que depende da posição, dada por $ F = F_{0} e^{-k x} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força $ F $ que age sobre a partícula está relacionada à aceleração $ a $ pela segunda lei de Newton:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos reescrever isso como:
Mas como queremos a velocidade em função do deslocamento $ x $, vamos usar a relação:
Substituindo isso na equação da força:
Passo 3
Agora, vamos substituir a força dada no problema na equação:
Queremos isolar $ v \frac{dv}{dx} $, então dividimos ambos os lados por $ m $:
Passo 4
A próxima etapa é separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre $ v $ e $ x $:
Passo 5
Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo:
Já a integral do lado direito:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração $ C $. Sabemos que a partícula parte do repouso em $ x = 0 $, ou seja, $ v = 0 $ quando $ x = 0 $:
Então, $ C = \frac{F_{0}}{m k} $
Passo 7
Substituindo $ C $ de volta na equação:
Fatorando $ \frac{F_{0}}{m k} $:
Passo 8
Finalmente, vamos resolver para $ v $:
Resposta
A velocidade $ v $ em função do deslocamento $ x $ é: