Encontre a velocidade v em função do deslocamento x de uma partícula de massa m que parte do repouso em x=0 sujeita às seguintes forças:
b) F=F0 e^-k x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade $ v $ de uma partícula em função do deslocamento $ x $. A situação é a seguinte: uma partícula de massa $ m $ parte do repouso em $ x = 0 $ e está sujeita a uma força que depende da posição, dada por $ F = F_{0} e^{-k x} $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força, trabalho e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força $ F $ que age sobre a partícula está relacionada à aceleração $ a $ pela segunda lei de Newton:
F
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos reescrever isso como:
a
Mas como queremos a velocidade em função do deslocamento $ x $, vamos usar a relação:
F = m cdot a
Substituindo isso na equação da força:
F = m cdot dvdt

Passo 3

Agora, vamos substituir a força dada no problema na equação:
F0 e^-k x = m cdot v cdot dvdx
Queremos isolar $ v \frac{dv}{dx} $, então dividimos ambos os lados por $ m $:
v dvdx

Passo 4

A próxima etapa é separar as variáveis $ v $ e $ x $. Vamos multiplicar ambos os lados por $ dx $:
v
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre $ v $ e $ x $:
x

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral do lado esquerdo:
integral v , dv = v^22 + C
Já a integral do lado direito:
integral F0m e^-k x , dx = F0m cdot ( -1k e^-k x ) + C
Simplificando:
v^22 = -F0m k e^-k x + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração $ C $. Sabemos que a partícula parte do repouso em $ x = 0 $, ou seja, $ v = 0 $ quando $ x = 0 $:
C
x = 0
Então, $ C = \frac{F_{0}}{m k} $

Passo 7

Substituindo $ C $ de volta na equação:
C
Fatorando $ \frac{F_{0}}{m k} $:
v^22 = -F0m k e^-k x + F0m k

Passo 8

Finalmente, vamos resolver para $ v $:
v
v^2 = 2 F0m k (1 - e^-k x)

Resposta

A velocidade $ v $ em função do deslocamento $ x $ é:
v

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