Considere a função
onde a função
é contínua em
e satisfaz
É verdade que existem valores para
e
que tornam a função
acima contínua em
?
Sim e
Sime
Sim e
Sim e
Não existem tais valores reais
onde a função
Sim e
Sime
Sim e
Sim e
Não existem tais valores reais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é contínua no intervalo
e ela está entre duas outras funções dadas por:
O que a gente precisa descobrir é se existem valores para
e
que fazem a função
ser contínua em todo o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões que estão nos limites para
. Olhando para a primeira fração:
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Agora, a segunda fração:
Vamos fatorar o numerador:
Resolvendo
, encontramos as raízes
e
, assim:
Portanto:
Passo 3
Com essas simplificações, a desigualdade para
fica:
Agora, para tornar a função
contínua em
, precisamos que o limite de
quando
se aproxima de 12 pela direita seja igual ao valor de
. Vamos calcular esse limite.
Passo 4
Calculando o limite de
quando
tende a 12 pela direita:
Como
está entre
e
, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto):
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
Passo 5
Para que
seja contínua em
, o valor de
deve ser igual a esse limite. Ou seja:
A função
provavelmente está definida de forma que
e o limite de
quando
se aproxima de 12 deve ser igual a
. Então, temos:
Logo, a diferença
é:
Passo 6
Observando as opções fornecidas, nenhuma delas corresponde a
. Portanto, não existem tais valores reais que tornam a função
contínua em
com base nas opções apresentadas.
Resposta
Não existem tais valores reais