Considere a função
onde a função g é contínua em (12,+infty) e satisfaz
144-x^2x-12 <= g(x) <= x^2-48 x+432x-12, forall x>12
É verdade que existem valores para A e B que tornam a função f acima contínua em R ?
Sim e A-B=-392
Sime A-B=-384
Sim e A-B=308
Sim e A-B=296
Não existem tais valores reais

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função 144 - x^2x - 12 <= g(x) <= x^2 - 48x + 432x - 12, forall x > 12 que é contínua no intervalo e ela está entre duas outras funções dadas por:
O que a gente precisa descobrir é se existem valores para e que fazem a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões que estão nos limites para 144 - x^2x - 12 . Olhando para a primeira fração:
144 - x^2 = -(x^2 - 144) = -(x - 12)(x + 12)
Podemos fatorar o numerador:
144 - x^2x - 12 = -(x - 12)(x + 12)x - 12 = -(x + 12), para x neq 12
Então:
x^2 - 48x + 432x - 12
Agora, a segunda fração:
x^2 - 48x + 432 = (x - 12)(x - 36)
Vamos fatorar o numerador:
Resolvendo x^2 - 48x + 432x - 12 = (x - 12)(x - 36)x - 12 = x - 36, para x neq 12 , encontramos as raízes e , assim:
Portanto:

Passo 3

Com essas simplificações, a desigualdade para -(x + 12) <= g(x) <= x - 36, forall x > 12 fica:
Agora, para tornar a função contínua em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 12 pela direita seja igual ao valor de . Vamos calcular esse limite.

Passo 4

Calculando o limite de limx to 12^+ g(x) quando limx to 12^+ -(x + 12) = -24 tende a 12 pela direita:
limx to 12^+ (x - 36) = -24
Como limx to 12^+ g(x) = -24 está entre e , podemos aplicar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto):
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:

Passo 5

Para que f(12) = -24 seja contínua em A = B = -24 , o valor de A - B = -24 - (-24) = 0 deve ser igual a esse limite. Ou seja:
A função provavelmente está definida de forma que e o limite de quando se aproxima de 12 deve ser igual a . Então, temos:
Logo, a diferença é:

Passo 6

Observando as opções fornecidas, nenhuma delas corresponde a . Portanto, não existem tais valores reais que tornam a função contínua em com base nas opções apresentadas.

Resposta

Não existem tais valores reais

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