Um erro comum entre estudantes é substituir a definição de vetor binormal unitário
pela expressão espúria dada por
Calcule esta expressão para o movimento circular uniforme e verifique que ela é igual a
-T e, portanto, perpendicular a
B .
Passo 1
O problema pede para calcular a expressão espúria \ $\dot{\vec{N}}/\|\dot{\vec{N}}\|$ no caso de movimento circular uniforme e mostrar que ela coincide com $-\vec{T}$, implicando que está perpendicular ao vetor binormal unitário $\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$. Vamos usar conceitos de vetores de Frenet para movimento circular.
Passo 2
Para o movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular $\omega$, escolhemos a parametrização
$$
\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\mathbf{i} + R\sin(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\mathbf{i} + R\sin(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
A velocidade é
$$
\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = -R\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + R\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = -R\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + R\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
O módulo é $\|\vec{v}(t)\|=R\omega$, portanto
$$
\vec{T}(t) =
\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|} = -\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + \cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
\vec{T}(t) =
\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|} = -\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + \cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
Passo 3
Derivando $\vec{T}(t)$ em relação a \t obtemos
$$
\dot{\vec{T}}(t) = -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
\dot{\vec{T}}(t) = -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
Como $\|\dot{\vec{T}}(t)\| = \omega$, o vetor normal unitário é
$$
\vec{N}(t) =
\frac{\dot{\vec{T}}(t)}{\|\dot{\vec{T}}(t)\|} = -\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
\vec{N}(t) =
\frac{\dot{\vec{T}}(t)}{\|\dot{\vec{T}}(t)\|} = -\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
Passo 4
Agora derivamos $\vec{N}(t)$ em \t:
$$
\dot{\vec{N}}(t) = \omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
\dot{\vec{N}}(t) = \omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
O módulo é novamente $\omega$, então a expressão espúria vale
$$
\frac{\dot{\vec{N}}(t)}{\|\dot{\vec{N}}(t)\|} = \sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
\frac{\dot{\vec{N}}(t)}{\|\dot{\vec{N}}(t)\|} = \sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
Passo 5
Comparando com
sin(omega t),i -cos(omega t),j = -T(t) vemos que
$$
\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j} = -\vec{T}(t).
$$
\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j} = -\vec{T}(t).
$$
Logo a expressão espúria é $-\vec{T}$, que é perpendicular a $\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$ porque \vec{T}\ é ortogonal a \vec{B}\.
Resposta
$-\vec{T}$