Um erro comum entre estudantes é substituir a definição de vetor binormal unitário B=T times N pela expressão espúria dada por
d Nd t|d Nd t|
Calcule esta expressão para o movimento circular uniforme e verifique que ela é igual a -T e, portanto, perpendicular a B.

Passo 1

O problema pede para calcular a expressão espúria \ $\dot{\vec{N}}/\|\dot{\vec{N}}\|$ no caso de movimento circular uniforme e mostrar que ela coincide com $-\vec{T}$, implicando que está perpendicular ao vetor binormal unitário $\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$. Vamos usar conceitos de vetores de Frenet para movimento circular.

Passo 2

Para o movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular $\omega$, escolhemos a parametrização
$$
\vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\,\mathbf{i} + R\sin(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
A velocidade é
$$
\vec{v}(t) = \dot{\vec{r}}(t) = -R\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + R\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}
$$
O módulo é $\|\vec{v}(t)\|=R\omega$, portanto
$$
\vec{T}(t) =
\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|} = -\sin(\omega t)\,\mathbf{i} + \cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$

Passo 3

Derivando $\vec{T}(t)$ em relação a \t obtemos
$$
\dot{\vec{T}}(t) = -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
Como $\|\dot{\vec{T}}(t)\| = \omega$, o vetor normal unitário é
$$
\vec{N}(t) =
\frac{\dot{\vec{T}}(t)}{\|\dot{\vec{T}}(t)\|} = -\cos(\omega t)\,\mathbf{i} -\sin(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$

Passo 4

Agora derivamos $\vec{N}(t)$ em \t:
$$
\dot{\vec{N}}(t) = \omega\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\omega\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$
O módulo é novamente $\omega$, então a expressão espúria vale
$$
\frac{\dot{\vec{N}}(t)}{\|\dot{\vec{N}}(t)\|} = \sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j}.
$$

Passo 5

Comparando com sin(omega t),i -cos(omega t),j = -T(t) vemos que
$$
\sin(\omega t)\,\mathbf{i} -\cos(\omega t)\,\mathbf{j} = -\vec{T}(t).
$$
Logo a expressão espúria é $-\vec{T}$, que é perpendicular a $\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}$ porque \vec{T}\ é ortogonal a \vec{B}\.

Resposta

$-\vec{T}$

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