Se f e g são funçöes contínuas em Z e 0 <= f(x)-g(x) <= x^2 para todo x, podemos afirmar que lim x 0 f(x)=lim x 0 g(x).
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

Então, temos um exercício que fala sobre funções contínuas e limites. O enunciado nos dá duas funções, e , que são contínuas nos inteiros ( ). Além disso, sabemos que a diferença entre e está entre 0 e para todo . A pergunta é se isso garante que os limites de e quando se aproxima de 0 são iguais. Vamos usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa desigualdade: . Isso quer dizer que a diferença entre e nunca é negativa e, no máximo, é igual a .

Passo 3

Sabemos que o limite de limx to 0 x^2 = 0 quando tende a 0 é 0, ou seja:
Isso nos mostra que a diferença entre e está “apertada” por algo que tende a 0.

Passo 4

Usando o Teorema do Aperto (também conhecido como Teorema do Squeeze), se limx to 0 (f(x) - g(x)) = 0 está entre 0 e , e ambos os extremos (0 e ) tendem a 0 quando se aproxima de 0, então a diferença também tende a 0:

Passo 5

Se a diferença entre limx to 0 f(x) = limx to 0 g(x) e tende a 0, isso significa que:
Portanto, os limites são iguais.

Resposta

Verdadeiro

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