Se [\hat{A}, \hat{B}]=\lambda \hat{B}, mostre que \hat{B}|a\rangle= constante |\lambda+a\rangle.

Passo 1

O enunciado dá dois operadores \hat{A} e \hat{B} tais que
[\hat{A},\hat{B}] = \lambda\,\hat{B},
e considera um autoestado \lvert a\rangle de \hat{A}, ou seja
\hat{A}\lvert a\rangle = a\,\lvert a\rangle.
Queremos mostrar que \hat{B}\lvert a\rangle é (até constante) um autoestado de \hat{A} com autovalor a+\lambda.

Passo 2

Começamos calculando o efeito de \hat{A} sobre \hat{B}\lvert a\rangle:
\hat{A}\bigl(\hat{B}\lvert a\rangle\bigr) = (\hat{B}\hat{A} + [\hat{A},\hat{B}])\lvert a\rangle,
pois por definição \hat{A}\hat{B} = \hat{B}\hat{A} + [\hat{A},\hat{B}].

Passo 3

Substituindo o comutador dado, temos
\hat{A}\bigl(\hat{B}\lvert a\rangle\bigr) = \hat{B}\hat{A}\lvert a\rangle + \lambda\,\hat{B}\lvert a\rangle.
Como \hat{A}\lvert a\rangle = a\lvert a\rangle, segue
\hat{A}\bigl(\hat{B}\lvert a\rangle\bigr) = a\,\hat{B}\lvert a\rangle + \lambda\,\hat{B}\lvert a\rangle = (a+\lambda)\,\hat{B}\lvert a\rangle.

Passo 4

A equação
\hat{A}\bigl(\hat{B}\lvert a\rangle\bigr) = (a+\lambda)\,\hat{B}\lvert a\rangle
mostra que \hat{B}\lvert a\rangle é autoestado de \hat{A} com autovalor a+\lambda.

Passo 5

Como os autoestados de \hat{A} formam uma base (ou um conjunto de vetores próprios ortonormais), segue que
\hat{B}\lvert a\rangle = C\,\lvert a+\lambda\rangle,
onde C é uma constante de normalização.

Resposta

\hat{B}\lvert a\rangle = \text{constante}\;\lvert a+\lambda\rangle.

Exercícios relacionados