Considere a função periódica dada por
f(t)=|1+2 cos (t)|
b) (1.5 pontos) Calcule a0, a1 e b1.
Dica: Observe que uma forma alternativa de escrever a função é dada por
f(t)=rc 1+2 cos (t), & -2 pi3
e f(t+2 pi)=f(t), t in R.

Passo 1

A gente tem f(t)=|1+2\cos(t)|, função periódica de período 2π. Preciso calcular os coeficientes de Fourier a0,a1,b1 usando as definições an=1piintegral-pi^pif(t)cos(nt),dt e bn=1piintegral-pi^pif(t)sin(nt),dt.

Passo 2

Como f(t) é função par (pois depende só de cos t), o produto f(t)sin t é ímpar e logo bn=0. Além disso, para calcular an dá pra usar integral-pi^pif(t)cos(nt),dt=2integral0^pif(t)cos(nt),dt.

Passo 3

A forma em pedaços é: f(t)=1+2cos t,&|t| Assim divido 0 a pi em [0,2pi/3] e [2pi/3,pi] para integrar.

Passo 4

Cálculo de a0:
integral0^2pi/3(1+2cos t),dt=2pi3+raiz3,
integral2pi/3^pi(-1-2cos t),dt=-pi3+raiz3
Somando e dobrando: integral-pi^pif(t),dt=2l(tfracpi3+2raiz3r)=tfrac2pi3+4raiz3. Logo
a0=1pil(2pi3+4raiz3r)=23+4raiz3pi

Passo 5

Cálculo de a1:
integral0^2pi/3(1+2cos t)cos t,dt=2pi3+raiz34,
integral2pi/3^pi(-1-2cos t)cos t,dt=-pi3+raiz34
Somando e dobrando: integral-pi^pif(t)cos t,dt=2l(tfracpi3+tfracraiz32r)=tfrac2pi3+raiz3. Logo
a1=1pil(2pi3+raiz3r)=23+raiz3pi

Passo 6

Como já vimos, b1=0 por paridade.

Passo 7

Pronto! Chegamos aos três coeficientes pedidos.

Resposta

a0=23+4raiz3pi, a1=23+raiz3pi, b1=0

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