Esboce o diagrama de campos de direções da EDO
x^prime=x(x-1)
em uma região na qual t varia de -3 a 3 e x varia de -2 a 2.

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de campos de direções da EDO x'=x(x-1) em tin[-3,3] e xin[-2,2]. O conteúdo é campo de direções de uma EDO autônoma, e vamos precisar saber que, por ser autônoma, a inclinação em cada ponto depende só de x.

Passo 2

Como a EDO é autônoma, a inclinação x'=f(x)=x(x-1) é constante para todo t fixo de um mesmo x. Logo, cada fileira horizontal no plano (t,x) terá o mesmo pequeno segmento de reta.
Identificamos os pontos de equilíbrio onde x(x-1)=0, isto é, x=0 e x=1. Nesses valores de x, a inclinação é zero, então desenhamos segmentos horizontais.

Passo 3

Escolhemos valores representativos de x dentro de [-2,2] e calculamos x'=x(x-1):
, x=-2:;x'=(-2)(-3)=6 (forte positivo),
, x=-1:;x'=(-1)(-2)=2 (moderado positivo),
, x=-0.5:;x'=(-0.5)(-1.5)=0.75 (leve positivo),
, x=0.5:;x'=(0.5)(-0.5)=-0.25 (leve negativo),
, x=1.5:;x'=(1.5)(0.5)=0.75 (leve positivo),
, x=2:;x'=(2)(1)=2 (moderado positivo).

Passo 4

Sobre o reticulado em (t,x), em cada ponto desenhe um pequeno segmento com a inclinação calculada para a fileira correspondente de x.

Resposta

O diagrama de campos de direções mostra: horizontais em x=0 e x=1 (equilíbrios); para x<0 e x>1 os segmentos sobem (inclinação positiva); para 0 os segmentos descem (inclinação negativa). A distribuição é independente de t, de modo que cada fileira de mesmo x tem segmentos com a mesma inclinação.

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