Resolva o PVI:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-6

Passo 1

O problema é um PVI (problema de valor inicial) para a equação diferencial de primeira ordem linear: temos
y' - yt+1 = 2t + 2, t>-1, y(1)=5-6
O conteúdo da matéria aqui é equação diferencial linear de 1ª ordem e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos o formato padrão de uma equação linear:
y' + p(t)y = q(t)
No nosso caso, reescrevendo, temos
y' - 1t+1y = 2t+2,
o que nos dá
p(t) = -1t+1, q(t) = 2t+2

Passo 3

O próximo passo é calcular o fator integrante mu(t):
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1t+1,dt = e^-ln|t+1| = 1t+1,
já que em nosso domínio t>-1 temos t+1>0.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original por mu(t)=1/(t+1) e observamos que o lado esquerdo se torna a derivada de ymu:
1t+1y' - 1(t+1)^2y = 2t+2t+1 Longrightarrow l(yt+1r)' = 2

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1 = integral 2,dt = 2t + C,
de onde vem a solução geral
y(t) = (t+1)(2t + C) = 2t^2 + (2+C)t + C

Passo 6

Por fim, aplicamos a condição inicial y(1)=5-6=-1. Substituindo:
y(1) = 2cdot1^2 + (2+C)cdot1 + C = 2 + 2 + C + C = 4 + 2C = -1
Logo 2C = -5 e C = -tfrac52.

Passo 7

Substituindo C na solução geral, obtemos
y(t) = 2t^2 + l(2 - tfrac52r)t - tfrac52 = 2t^2 - tfrac12t - tfrac52 = 4t^2 - t - 52

Resposta

y(t)=dfrac4t^2 - t - 52

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