Considere uma função periódica
definido como:
.
Expandiref (
)em uma série de Fourier e determine os coeficientes bn associados à expansão em sentidos. Verifique a convergência da série para
e
.
Expandiref (
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período L dada por f(x) = –1 para –L/2 ≤ x < 0 e f(x) = +1 para 0 ≤ x < L/2. Precisamos expandir f(x) em série de Fourier e, como o enunciado pede apenas os coeficientes bₙ (termos de seno), vamos trabalhar com a teoria de séries de Fourier para funções ímpares.
Passo 2
Observamos que f(–x) = –f(x), ou seja, f é ímpar. Na expansão em série de Fourier isso implica que todos os coeficientes aₙ (termos de cosseno) e o termo médio a₀ são zero. Logo f(x) se escreve só com senos: f(x) = ∑ₙ bₙ sin(2πnx/L).
Passo 3
Pela definição de coeficiente de série de Fourier para senos em função de período L e aproveitando a paridade ímpar, temos
Como f(x)=+1 no intervalo 0≤x≤L/2, avaliamos
Passo 4
Substituindo na fórmula de bₙ:
Dessa forma bₙ = 0 se n é par (pois 1–1=0) e bₙ = 2/(πn) se n é ímpar (pois 1–(–1)=2).
Passo 5
Em pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge à média dos limites à direita e à esquerda. Em x = 0 temos f(0–)=–1 e f(0+)=+1, média = 0. Em x = L/2 temos f(L/2–)=+1 e f(L/2+)=f(–L/2)=–1, média = 0. Portanto a série vale 0 nesses pontos.
Resposta
Os coeficientes são
bₙ =
Em x=0 e x=L/2 a série converge ao valor 0.
bₙ =
Em x=0 e x=L/2 a série converge ao valor 0.