Considere uma função periódica f(x) definido como:
f(x)=1,-L / 2 <= x<01,0 <= x.
Expandiref ( x )em uma série de Fourier e determine os coeficientes bn associados à expansão em sentidos. Verifique a convergência da série para x=0 e x=L / 2.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica de período L dada por f(x) = –1 para –L/2 ≤ x < 0 e f(x) = +1 para 0 ≤ x < L/2. Precisamos expandir f(x) em série de Fourier e, como o enunciado pede apenas os coeficientes bₙ (termos de seno), vamos trabalhar com a teoria de séries de Fourier para funções ímpares.

Passo 2

Observamos que f(–x) = –f(x), ou seja, f é ímpar. Na expansão em série de Fourier isso implica que todos os coeficientes aₙ (termos de cosseno) e o termo médio a₀ são zero. Logo f(x) se escreve só com senos: f(x) = ∑ₙ bₙ sin(2πnx/L).

Passo 3

Pela definição de coeficiente de série de Fourier para senos em função de período L e aproveitando a paridade ímpar, temos
bn = 2Lintegral0^L/2f(x),sinl(2pi nLxr),dx
Como f(x)=+1 no intervalo 0≤x≤L/2, avaliamos
integral0^L/2sinl(2pi nLxr)dx = -L2pi nl[cosl(2pi nLxr)r]0^L/2 = -L2pi nl((-1)^n - 1r)

Passo 4

Substituindo na fórmula de bₙ:
bn = 2Ll(-L2pi nr((-1)^n - 1)r) = 1pi nl(1 - (-1)^nr)
Dessa forma bₙ = 0 se n é par (pois 1–1=0) e bₙ = 2/(πn) se n é ímpar (pois 1–(–1)=2).

Passo 5

Em pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge à média dos limites à direita e à esquerda. Em x = 0 temos f(0–)=–1 e f(0+)=+1, média = 0. Em x = L/2 temos f(L/2–)=+1 e f(L/2+)=f(–L/2)=–1, média = 0. Portanto a série vale 0 nesses pontos.

Resposta

Os coeficientes são
bₙ = 2/(pi n), & n ímpar,0,& n parí
Em x=0 e x=L/2 a série converge ao valor 0.

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