Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário. S: 6
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. A questão pede para a gente calcular o fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário. Basicamente, queremos saber quanta “força” do campo está saindo do cubo. Para isso, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado por essa superfície. A fórmula é:
Onde:
é o campo vetorial.
é a superfície fechada.
é o vetor normal à superfície.
é o volume dentro de .
é a divergência de .
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos integrar essa expressão sobre o volume do cubo unitário. O cubo unitário tem limites de integração de 0 a 1 para , e . Assim, a integral tripla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral se reduz a:
Passo 6
Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a integral0^1 6, dx = 6x |0^1 = 6(1) - 6(0) = 6 :
Resposta
O fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário é igual a 6.