Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de saída do campo vetorial F(x, y, z)=2 x i+3 y j+z^2 k através do cubo unitário. S: 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema da Divergência. A questão pede para a gente calcular o fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário. Basicamente, queremos saber quanta “força” do campo está saindo do cubo. Para isso, vamos precisar entender o que é divergência e como aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado por essa superfície. A fórmula é:
integral duplaS F cdot n, dS = integral triplaV nabla cdot F, dV
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é a superfície fechada.
  • é o vetor normal à superfície.
  • é o volume dentro de .
  • é a divergência de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência de um campo vetorial partial Ppartial x = 2, partial Qpartial y = 3, partial Rpartial z = 2z é dada por:
nabla cdot F = 2 + 3 + 2z = 5 + 2z
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos integrar essa expressão sobre o volume do cubo unitário. O cubo unitário tem limites de integração de 0 a 1 para integral triplaV (5 + 2z), dV = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (5 + 2z), dz, dy, dx , e . Assim, a integral tripla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (5 + 2z), dz = [5z + z^2]0^1 = 5(1) + (1)^2 - (5(0) + 0^2) = 5 + 1 = 6 :
integral0^1 integral0^1 6, dy, dx
Agora, a integral se reduz a:

Passo 6

Integrando em relação a integral0^1 6, dy = 6y |0^1 = 6(1) - 6(0) = 6 :
integral0^1 6, dx
Agora, a integral fica:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integral0^1 6, dx = 6x |0^1 = 6(1) - 6(0) = 6 :

Resposta

O fluxo de saída do campo vetorial através do cubo unitário é igual a 6.

Exercícios relacionados