Considere a função f: R R periódica de período 2 pi, ímpar, definida no intervalo [0, pi] por
f(x)=x
Calcule a série de Fourier de f.

Passo 1

Na primeira etapa, resumimos o enunciado: a função f: RtoR é periódica de período 2pi, ímpar e definida em [0,pi] por f(x)=x. Vamos calcular sua série de Fourier, sabendo que para funções ímpares só aparecem termos senoidais.

Passo 2

Por ser função ímpar, todos os coeficientes a0 e an são zero, ficando apenas os coeficientes bn. A fórmula geral é
bn = 2pi integral0^pi f(x)sin(nx) ,dx

Passo 3

Precisamos calcular integral0^pi xsin(nx) ,dx. Usando integração por partes com u=x e dv=sin(nx),dx, obtemos
integral0^pi xsin(nx) ,dx = -xcos(nx)n|0^pi + 1nintegral0^picos(nx) ,dx = -pi(-1)^nn

Passo 4

Substituindo na expressão de bn temos
bn = 2pi(-pi(-1)^nn) = 2(-1)^n+1n Assim a série de Fourier da função é só a soma dos termos senoidais com esses coeficientes.

Resposta

f(x) = 2 sumn=1^infty (-1)^n+1n sin(nx)

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