Seja g: R R diferenciável, com g(2)=3 e g^prime(2)=-1, g(5)=4 e g^prime(5)=-2. Calcule f^prime(2), onde
f(x)=g(x) raizg(x^2+1)
Observações: Escreva a resposta como um número; caso não seja inteiro, escreva com pelo menos duas casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função e pede para calcular a derivada . A matéria envolvida aqui é derivação de funções, especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar das informações sobre a função nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que já conhecemos:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função f^prime(x) = g^prime(x) cdot raizg(x^2+1) + g(x) cdot ddx( raizg(x^2+1) ) . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Então, temos:

Passo 4

Vamos agora derivar ddx raizg(x^2+1) = 12raizg(x^2+1) cdot g^prime(x^2+1) cdot 2x . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de ddx raizg(x^2+1) = g^prime(x^2+1) cdot xraizg(x^2+1) em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de .
Se , então:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo isso de volta na expressão da derivada de f^prime(x) = g^prime(x) cdot raizg(x^2+1) + g(x) cdot g^prime(x^2+1) cdot xraizg(x^2+1) :

Passo 6

Agora, vamos substituir 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 na expressão. Primeiro, calculamos :
Então, e .

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão da derivada:
f^prime(2) = g^prime(2) cdot raizg(5) + g(2) cdot g^prime(5) cdot 2raizg(5)
Substituindo os valores conhecidos:
f^prime(2) = (-1) cdot raiz4 + 3 cdot (-2) cdot 2raiz4
Calculando:
f^prime(2) = (-1) cdot 2 + 3 cdot -42 = -2 + 3 cdot (-2) = -2 -6 = -8

Resposta

Exercícios relacionados