Considere a função
periódica de período
, ímpar, definida no intervalo
por
Explique intuitivamente o mecanismo que permite que uma série de Fourier convirja para uma função descontínua, apesar das somas parciais de uma série de Fourier serem infinitamente diferenciáveis.
Passo 1
O enunciado pede para entender por que a série de Fourier de uma função periódica de período 2π, ímpar, definida por f(x)=x em [0,π] (que tem saltos quando estendida periodicamente), converge de fato a essa função descontínua, mesmo que cada soma parcial seja uma combinação finita de senos e cossenos (portanto infinitamente diferenciável).
Passo 2
A soma parcial de ordem N da série de Fourier, denotada S_N(x), pode ser escrita como uma convolução de f com o núcleo de Dirichlet D_N:
Esse núcleo D_N é uma função oscilatória que tem um pico central e várias oscilações laterais (lóbos) cuja amplitude não tende a zero com N.
Passo 3
As oscilações do núcleo de Dirichlet longe do pico central geram ``lóbos laterais’’ de oscilação que persistem mesmo quando N aumenta. Ao convoluir com f, essas oscilações produzem um excesso (overshoot) perto dos pontos de descontinuidade de f. Esse fenômeno é conhecido como fenômeno de Gibbs.
Passo 4
Conforme N cresce, a largura dessas oscilações diminui (ficam cada vez mais concentradas ao redor do salto), mas a amplitude máxima do overshoot não cai para zero; fica em torno de 9% da altura do salto. Assim, em cada vizinhança de um salto, S_N ainda oscila e ultrapassa os valores laterais de f.
Passo 5
Por causa desse comportamento, a convergência S_N(x)\to f(x) é apenas ponto a ponto (ou em norma L²), mas não é uniforme nas vizinhanças das descontinuidades. Logo, embora cada S_N seja C^∞, o limite pontual pode ser descontínuo.
Passo 6
Em resumo, o mecanismo é a convolução com um núcleo oscilatório (D_N) que introduz oscilações persistentes perto dos saltos de f, produzindo overshoot e impedindo a convergência uniforme. É assim que somas finitas de funções lisas conseguem convergir a uma função com descontinuidades.
Resposta
As somas parciais de Fourier são convoluções com o núcleo de Dirichlet, que tem oscilações laterais de amplitude não nula. Essas oscilações geram overshoot persistente (fenômeno de Gibbs) perto de descontinuidades. Embora a largura do overshoot encolha com N, sua amplitude não some, de modo que a convergência deixa de ser uniforme em torno do salto e a função limite permanece descontínua, mesmo que cada soma parcial seja infinitamente diferenciável.